Alanın temeli $E$= $\mathbb{Q}(\sqrt{6}i-\sqrt{5})$.

Question

Bir tarla alalım $E$=$\mathbb{Q}(\sqrt{6}i-\sqrt{5})$.

Bir temel bulmak istedim $E$ olarak $\mathbb{Q}$-vektör alanı. İlk düşüncem, yapı teoremini basitçe alan genişletmesi için kullanmaktı. Bu nedenle bir element bulmam gerekiyordu$u\in E$ Böylece $u$ cebir bitti mi $E$ ve bir $f$ Böylece $f(u)=0$. O zaman olur$u,u^{2},...,u^{deg(f)-1}$temel alın. Bunu nasıl doğru bir şekilde yapabileceğimi bilmiyorum.

İkinci olarak bir polinom bulmak istedim $f\in \mathbb{Q}[X]$ Böylece $E$ bölme alanı $f$ bitmiş $\mathbb{Q}$. Çünkü ilk düşünceme takılıp kaldım, böyle bir şeyi nasıl bulacağımı anlamıyorum$f$.

DÜZENLE:

FIRTS

• hadi isim verelim $\alpha$=$\sqrt{6}i-\sqrt{5}$. Bir polinomal arıyoruz$f\in \mathbb{Q}$ Böylece $f(\alpha)$= 0.

$\alpha^{2}$=$-1-2i\sqrt{30}$

$\alpha^{3}$=$-i\sqrt{6}+\sqrt{5}+2\sqrt{+}\sqrt{30}+2i\sqrt{5}\sqrt{0}$

$\alpha^{4}$=$1+4i\sqrt{30}-120$=$-119+4i\sqrt{30}$

Sonra onu takip eder $\alpha^{4}+2\alpha^{2}+121=0$

biz adlandırıyoruz $f(x)$=$x^{4}+2x^{2}+121$

Çünkü $f$ değil $0$ ve puanı yok $x$ yani $f(x)=0$ , dır-dir $f$irriducibel. Bu şu demek$f$ minimal polinomalidir $\alpha$ bitmiş $E$. Şimdi basit bir alan uzantısı için yapı teoremini kullanıyoruz ve bunu takip ediyor {$1,\alpha,\alpha^{2},\alpha^{3}$} bir temeldir.

İKİNCİ

• Hala bunu kanıtlamakta takılıyorum

Answer 1

İpucu

$$(\sqrt 6i-\sqrt 5)^2=-1-2\sqrt{30}i$$ ve böylece $$((\sqrt6i-\sqrt 5)^2+1)^2+120=0,$$ yani $$x^4+2x^2+121=0$$bir annilhator polinomudur. Sonuçlandırmanıza izin veriyorum.

---

Başka bir yol da bunu göstermek olabilir $$\mathbb Q(\sqrt 6i,\sqrt 5)=\mathbb Q(\sqrt 6i-\sqrt 5),$$ ve böylece bir temel $$\{1,\sqrt 6i,\sqrt 5, i\sqrt{30}\}.$$

Answer 2

Minimal polinomu $\sqrt 5$ bitmiş $\mathbb Q$ dır-dir $p(x)=x^2-5$. Ve minimal polinomu$\sqrt{6}i-\sqrt{5}$ bitmiş $\mathbb Q(\sqrt{5})$ dır-dir $q(x)= x^2+2\sqrt{5}x +11$.

Bunun temelini elde etmek için teleskopik temel teoremini kullanabilirsiniz. $E$ bitmiş $\mathbb Q$ dır-dir

$$\{1, \sqrt{5}, \sqrt{6}i, \sqrt{30}i\}$$

Answer 3

Sorunuzun ikinci kısmı için. Doğru polinomu zaten buldunuz, yani$f(x)=x^4+2x^2+121$. Bunu biliyorsun$\sqrt{6}i-\sqrt{5}$bu polinomun bir köküdür. Dan beri$\mathbb{Q}$ bir alandır ve 0 karakteristiğine sahiptir, İlkel eleman teoreminden Bölme alanınızın $\mathbb{Q}(\sqrt{6}i-\sqrt{5})$.