Arasında Bijective Mapping $\mathbb{R}$ ve $\mathbb{R}\setminus\{0\}$

Question

Bu iki kümenin aynı önceliğe sahip olduğunu göstermek istiyorum. O zamandan beri biliyorum$\mathbb{R}$ sonsuzdur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$Sonlu sayıda elemanı çıkardığımız için (gerçekten sadece bir tane) sonsuz olmalıdır. Yine de, bunu ikisi arasında önyargılı bir eşleme bularak resmileştirmek istiyorum ve ne olacağını anlayamıyorum. Herhangi bir basit örnek var mı?

Answer 1

Basitçe tanımlayın $f(x) = \begin{cases}x + 1, \text{if } x \in \Bbb N;\\x, \text{else.}\end{cases}$, nerede $\Bbb N = \{0, 1, 2, \dots\}$ negatif olmayan tam sayılar kümesidir.

Sonra $f$ bir bijeksiyon $\Bbb R$ -e $\Bbb R\backslash \{0\}$.

Answer 2

WhatsUp çözümü gönderir $0$ -e $1$, sonra $1$ taşındı $2$ ve bunun gibi $0\to 1\to 2\to 3\to\cdots$ sonsuza kadar.

Genellikle kullanılan başka bir yaygın numara $[0,1]\mapsto(0,1]$ hareket etmek $0\to \frac 12\to\frac 14\to\frac 18\to\cdots$sınırlı durumda sıfıra kadar. Tabi bunu haritalamak için de kullanabilirsiniz.$\mathbb R$ -e $\mathbb R\setminus\{0\}$.

Not: Temelde tek bir noktayı kaldırabilirsiniz$c_0$ başka bir numarayla eşleştirerek $c_1$, gönder o zaman $c_1$ bir başkasına $c_2$ vb., toplayıcı sayıları iterken $c_n$uzakta. Böylece diziler gibi$c_n=n$ veya $c_n=p^{-n}$ basit önyargıları gerçekleştirmek için uygundur.