Arkadaşınla bir bahis
Arkadaşın James seni onunla bahse girmeye davet etti.
Adil bir ölümü var $3$ gösterilen yüzler $0$ ve $3$ gösterilen yüzler $1$. Ona ödeme yap$\\\$70 $ . Malı 15 $ kere atar ve tüm atışların sayılarının toplamını kaydeder ve size kaydedilen sayının karesini dolar verir. Beklenen kazanç veya kayıp nedir?
Bonus: Beklenen bir kazanca sahip olmak için en azından kaç tane ölüm atışı gereklidir?
Kendi kendime sorun. Bu soruyu yapmak için bir kimlik bulmanız gerekiyor, bu yüzden bu bir ders kitabı tarzı problem olmamalı.
Yanıtlar
Varsayalım ki bizde $n$zar. Sonra
sen alırsın $k^2$ olasılıkla ${n\choose k}/2^n$ ve beklentiniz (görmezden gelerek) $\\\$Oynamak için 70 $ ücret) 2 $ ^ {- n} \ sum k ^ 2 {n \ select k} $ ' dır . Elimizde $ k {n \ select k} = n {n-1 \ select k-1} $, yani bu $ 2 ^ {- n} n \ sum k {n-1 \ select k-1} $ olur . Yazma $ k = (k-1) + 1 $ ve aynı kimliklerini kullanarak $ n-1, k-1 $ yerine $ n $ k biz bu eşit olduğunu görüyoruz $ 2 ^ {- n} n (n 1) \ toplam {n-2 \ k-2'yi seçin} +2 ^ {- n} n \ toplamı {n-1 \ k-1'i seçin = \ frac14n (n-1) + \ frac12n = \ frac14n (n +1) $ .
$ N = 15 $
Beklenen kazancınız oyun başına \ $ 60, oynamak için ödediğiniz \ 70 $ 'ı telafi etmek için yeterli değil. Bunun için, ilk önce $ n = 17 $ 'da gerçekleşen $ n (n + 1) \ geq280 $ ' a ihtiyacınız var .
Sırf eğlence olsun diye, yukarıda kullandığım kimliği kanıtlamanın akıllıca bir birleşimsel yolu:
İhtiyacımız $ \ toplamı k ^ 2 {n choose k \} 2 ^ {n-2} n (n + 1) $ = . İlk terim, $ n $ kümesinden bir miktar top seçmenin (örneğin $ k $ ) ve ardından iki kez $ k $ ' dan birini seçmenin yollarının sayısıdır . Bunu yapmak yerine, bir top ( $ n $ setinin tam setinden ) iki kez seçtiğimizi ve ardından $ k $ setimizi doldurmak için diğerlerinden herhangi bir alt set seçtiğimizi varsayalım . Orada $ n \ cdot2 ^ {n-1} $ yapmanın başka yolları iki kez aynı topu almak eğer. Orada $ 2 {n \ 2 seçim} \ cdot2 ^ {n-2} $ biz başlangıçta farklı topları almak varsa bunu yapmanın başka yolları. Bunları eklemek gerekli sonucu verir.
Belki bunu biraz daha kısaca yapmanın daha akıllıca bir yolu vardır.
@Gareth McCaughan daha akıllıca bir pantolon çözümü istiyordu:
Hesaplamamız istenen, iki terimli dağılımın 2. ham anıdır. Bu, hepsi iyi bilinen varyans artı ortalama kare olarak yazılabilir:$\sigma^2 + \mu^2 = np(1-p) + (np)^2 = 60$verilen parametrelerle. Beklenen kayıp$\\\$10 $
En Değerler $ 16,17 $ olan $ 68,76.5 $ . Bu yüzden bir galibiyet beklemek için 17 $ 'lık jetona ihtiyacımız var .
Bu çözüm yanlış, ancak nasıl karıştırılacağına dair mükemmel bir örnek olduğunu düşündüğüm için onu burada bırakıyorum. $\rm{E}[x^2]$ ve $\rm{E}[x]^2$.
Elde etme olasılığı $0$ (veya $1$) dır-dir $1/2$, bu nedenle tarif ettiğiniz süreç , parametre ile bir iki terimli dağılımı izler$1/2$. Dolayısıyla, toplamın beklenen değeri$15*\frac12=7.5$arkadaşın sana verecek $56.25$ dolar, kayıpla sonuçlanır $13.75$ dolar.
Minimum sayı $n$ Para kazanmak için zar atma oranı denklemde verilir $$ (np)^2>70 $$ hangi verir $$ n>\sqrt{70}p^{-1} = 16.73 $$(olumsuz çözümü atıyoruz). O zaman son cevap$$ n=17 $$ Bu kalıp oyunu, adil bir yazı tura atarken tura sayısını saymaya eşdeğerdir.
Görünüşe göre buradaki cevaplar aşırı karmaşık.
Varsayalım: Kalıbın% 50'sinde 1,% 50'si 0'ı döndürür. 1 rulodaki ortalama getiri nedir? 0.5
15 ruloda ortalama getiri nedir? 0,5 kere 15 = 7,5 7,5 kare = 56,25