Basit modüllerin Ext¹'sinin sonlu boyutluluğu

Question

Basitlik için izin ver $\Bbbk$ karakteristik bir alan olmak $0$ ve izin ver $A$ Sonlu olarak oluşturulmuş bir ünital çağrışımsal olmak $\Bbbk$-cebir.

Herhangi iki basit için doğru mu $A$-modüller $S_1, S_2$bizde var $\operatorname{Ext}^1_A (S_1, S_2)$ sonlu boyutlu mu?

Değilse, basit bir karşı örnek nedir ve bunu sağlamak için ne tür koşullara ihtiyacımız var?

(Anladığım kadarıyla, Weyl cebiri $\Bbbk \langle x, y \rangle / (xy - yx - 1)$ yalnızca sonsuz boyutlu basit modülleri vardır, ancak ilk uzantı grupları hala sonlu boyutludur.)

Answer 1

Aslında, Weyl cebiri hakkındaki iddianız yalnızca basit holonomik modüller için doğrudur . Basit bir holonomik olmayan modül olduğu ortaya çıktı$M$ 2. Weyl cebiri üzerinden $A=A_2(\Bbb C)$ hangisi için $\operatorname{Ext}_A^1(M,M)$sonsuz boyutludur. Bu, Stafford'un "Weyl cebirleri ve zarflama cebirleri üzerinde holonomik olmayan modüller" in Sonuç 1.3'üdür.

Answer 2

Doğrudur eğer $A$değişmeli. Hesaplayabiliriz$\text{Ext}^1(S_1, S_2)$ ücretsiz bir çözümün ilk üç şartını kullanarak $S_1$; dan beri$S_1$ basittir, döngüseldir, dolayısıyla bu çözümün ilk terimi $A$ ve bu kararın ikinci terimi, çekirdeğin herhangi bir sonlu üreteci kümesidir. $A \to S_1$, çünkü sonlu olarak oluşturulur çünkü $A$Noetherian; Hiçlik ayrıca üçüncü terimi (ve aslında her terimi) sınırlı özgür olarak alabileceğimizi ima eder. Böylece, düzensiz sonlu bir serbest çözünürlük

$$\cdots \to A^n \to A^m \to A \to S_1 \to 0$$

hangi hesaplar $\text{Ext}^1(S_1, S_2)$ alt bölümü olarak $\text{Hom}(A^m, S_2) \cong S_2^m$; Nullstellensatz tarafından$\dim_k S_2$ sonlu yani $\dim_k \text{Ext}^1(S_1, S_2)$ayrıca sonlu olmalıdır. Daha genel olarak$\dim_k \text{Ext}^n(S_1, S_2)$ sonludur.

Eğer $A$ değişmez $\dim_k S_2$ sonsuz olabilir ve çekirdeği $A \to S_1$ sonsuz üretilebilir (eğer $A$ Noetherian değildir) bu nedenle bu argüman iki yerde başarısız olur.