Basitleştirin $(1+\sqrt{3}) \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}$

Question

Biri basitleştirmeme yardım edebilir mi $(1+\sqrt{3})\times\sqrt{2-\sqrt{3}}$? Sonuç şudur:$\sqrt{2}$ancak, şu anki becerilerimi kullanarak oraya nasıl gideceğimi gerçekten bilmiyorum.

Bir öğretmene / öğretmene sordum ve ifadeyi X'e eşitlemeyi ve geriye doğru çalışmayı, her iki tarafın da karesini almayı önerdi, böylece:

$$X^2 = (1 + \sqrt{3})^2 \cdot (2 - \sqrt{3}) =(4+2\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) =8-2\sqrt{3}^2 = 2 \require{cancel}$$ $$\Rightarrow X = \sqrt{2}$$

Benim asıl sorum şu:

1. Bunu X'e eşit ayarlamadan basitleştirmenin adımları nelerdir?
2. Bir youtube videosu izlemeyi denedim ancak başarılı olmadım - burada kareler arasındaki fark uygulanabilir mi?

Teşekkürler!

Answer 1

Genel olarak, $\sqrt{2 - \sqrt3}$ denklem kullanılarak reddedilebilir $$\sqrt{X\pm Y} = \sqrt{\frac{X + \sqrt{X^2-Y^2}}{2}} \pm \sqrt{\frac{X - \sqrt{X^2-Y^2}}{2}}.$$ (kaynak)

Ayar $X = 2$ ve $Y = \sqrt3$ verir $X^2-Y^2=1$ ve bu nedenle $$\sqrt{2-\sqrt3} = \sqrt{\frac{2+1}{2}} - \sqrt{\frac{2-1}{2}} = \frac{\sqrt3 - 1}{\sqrt 2}.$$ Çarpan $\sqrt3 + 1$ Payı dönüştürür $3-1 = 2$, ve $\frac{2}{\sqrt2} = \sqrt2$.

Bu getirmekten daha uzun $\sqrt3+1$ bu özel durumda radikal içine giriyor, ancak daha genel olarak çalışıyor.

Answer 2

$$(1+\sqrt3)\sqrt{2-\sqrt3}=\sqrt{(4+2\sqrt3)(2-\sqrt3)}=\sqrt{2(4-3)}=\sqrt2.$$

Answer 3

Var $x\sqrt y$. Getir$x$ almak için karekök içinde $\sqrt{x^2y}$

Answer 4

OP'nin 'X'e eşit ayarlama' yöntemiyle kastettiği budur.

İzin Vermek $x = (1+\sqrt{3}) \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}$, ve böylece:

$$x^2 = (1 + \sqrt{3})^2 \cdot (2 - \sqrt{3}) =(4+2\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) =8-2\sqrt{3}^2 = 2 \require{cancel}$$ $$\Rightarrow x = \cancel{-\sqrt{2}}, \sqrt{2}$$

Üstünü çizmemizin nedeni $-\sqrt{2}$ Çünkü $1 + \sqrt{3} > 1 > 0$, ve $\sqrt{2 - \sqrt{3}} > 0$, Böylece $x = (1 + \sqrt{3})(\sqrt{2 - \sqrt{3}}) > 0$. Bu nedenle$x = \sqrt{2}$ tek olası değerdir.