Bessel türevi $K$

Question

Bessel'in ilk türevi ile ilgileniyorum. $K$parametresine göre işlev. Aşağıdaki gösterimi kullanacağım;$K^{(1,0)}(n,z):= \frac{\partial}{\partial \nu} K_\nu(z) \bigg|_{\nu = n}$

İçin bazı farklı ifadelere baktım $K^{(1,0)}$, örneğin burada: https://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/BesselK/20/01/01/

İfadeler bana oldukça şiddetli görünüyor; bir grup gama fonksiyonu ve digamma fonksiyonları üzerinde sonsuz toplamlar içeren vb. Bu tür serileri manipüle etme konusunda fazla tecrübem yok.

Ancak bu ifadeler genel amaçlıdır $n\in \mathbb{Z}$ veya $n \notin \mathbb{Z}$ve şu anda sadece şununla ilgileniyorum $K^{(1,0)}(\frac{1}{2},z)$. bunu biliyorum$K_{\frac{1}{2}}(z)$ genel ile karşılaştırıldığında önemli ölçüde basitleştirir $K_\nu(z)$bu yüzden biraz umut olabileceğini hissediyorum $K^{(1,0)}(\frac{1}{2},z)$ ile karşılaştırıldığında da basitleştirebilir $K^{(1,0)}(n,z)$.

Türev için basitleştirilmiş bir ifade vermenin mümkün olup olmadığını bilen var mı? $K^{(1,0)}(\frac{1}{2},z)$ Bessel $K$ işlev?

Answer 1

Bu türev açıkça tablolandırılmıştır ( DLMF ) \ begin {equation} \ left. \ Frac {\ partial K _ {\ nu} \ left (x \ right)} {\ partial \ nu} \ right | _ {\ nu = \ frac {1} {2}} = \ sqrt {\ frac {\ pi} {2x}} E_ {1} \ left (2x \ right) e ^ {x} \ end {denklem} nerede \ başlar {denklem} E_ { 1} \ left (z \ right) = \ int_ {z} ^ {\ infty} \ frac {e ^ {- t}} {t} \ mathrm {d} t \ end {equation} üstel integraldir.