Bir alt kalbin tabakası

Question

İzin Vermek $\mathscr{F}$ demetinin alt yaprağı olmak $\mathscr{H}$. Doğru anladıysam, bu durumda demetlendirmenin özellikle basit bir formu var. Tarafından tanımlanan demet$$\widetilde{\mathscr{F}}(U)=\{s\in \mathscr{H}(U)\:|\:s\text{ locally lies in }\mathscr{F}\},$$ bunu söylediğimiz yer $s\in \mathscr{H}(U)$ yerel olarak yatıyor $\mathscr{F}$ açık bir kapak var mı $\{U_i\}$ nın-nin $U$ öyle ki $s|_{U_i}\in \mathscr{F}(U_i)$ her biri için $i$.

Bunun gerçekten bir demet olduğu açıktır, ancak demetlendirmenin evrensel özelliğini nasıl tatmin ettiğini göremiyorum.

Bunu şu şekilde yapmayı düşündüm: Bu yapının gerçekten işlevsel olduğunu düşünüyorum. $\mathscr{F}$. Varsayalım ki, bir morfizm verildiğinde$\mathscr{F}\to\mathscr{G}$ indüklenmiş bir morfizme sahip olmalıyız $\widetilde{\mathscr{F}}\to\widetilde{\mathscr{G}}$ orijinal morfizmimizle sınırlandırıldığında çakışan $\mathscr{F}$. Eğer$\mathscr{G}$ bir demet $\widetilde{\mathscr{G}}=\mathscr{G}$ve böylece bu, arzu ettiğimiz morfizmi verir. Ama bu yapının neden işlevsel olduğunu gerçekten anlayamıyorum$\mathscr{F}$.

Answer 1

Bir demet verildi $\mathscr{G}$ ve ön sargıların bir morfizmi $f:\mathscr{F}\to \mathscr{G}$, doğrudan ön kasnakların (ve dolayısıyla kubbelerin) bir morfizmini oluşturabilirsiniz. $\widetilde{f}:\widetilde{\mathscr{F}}\to \mathscr{G}$ bu genişler $f$. Bir bölüm verildiğinde$s\in \widetilde{\mathscr{F}}(U)$herhangi bir açık kapak seçin $\{U_i\}$ nın-nin $U$ öyle ki kısıtlamalar $s\mid_{U_i}$ geç saate kadar yatmak $\mathscr{F}$. O zaman başvurabilirsin$f$ bu kısıtlamaların her biri için ve görüntülerini yapıştırarak $\widetilde{f}(s)\in \mathscr{G}(U)$. Bunun iyi tanımlandığını, yani açık kapaktan bağımsız olduğunu ve aslında$\widetilde{f}$ benzersiz uzantısıdır $f$. İkincisi gösteriyor ki$\widetilde{\mathscr{F}}$ bir sheafifikasyondur.

Bahsettiğiniz işlevsellikle ilgili olarak, tanımınız bir demet seçimini gerektirdiğinden $\mathscr{H}$, Bunu nasıl anlamlandıracağımdan emin değilim (elbette, demetleştirmenin evrensel mülkiyet tarafından işlevsel olduğu gerçeğinden sonra biliyorsunuz).

Answer 2

varsayıyorum $\mathscr H$ topolojik bir uzayda değişmeli gruplardan oluşan bir demet $X$.
Dan beri$\mathscr H$ bir demet, kadife kurgunun evrensel özelliği, ön demetlerin morfizmi $\iota:\mathscr F\hookrightarrow\tilde {\mathscr F} $ faktörler aracılığıyla $\mathscr F\xrightarrow{j}\mathscr F^{sh}\xrightarrow{\bar \iota }\tilde{\mathscr F}$. Görmek için$\bar \iota: \mathscr F^{sh}\rightarrow \tilde {\mathscr F}$bir izomorfizmdir, saplar seviyesinde kontrol etmek yeterlidir.
Saplar düzeyinde, sahip olduğumuz$x\in X$temel alan, kompozisyon $$\mathscr F_x\xrightarrow{j_x}\mathscr F^{sh}_x\xrightarrow{\bar \iota_x }{\tilde{\mathscr F}}_x=\mathscr F_x $$kimlik hangisidir. Dahası,$j_x$bir izomorfizmdir. Bu, demetleştirmenin tam da inşasından kaynaklanmaktadır. Böylece$\bar \iota_x$ herkes için bir izomorfizmdir $x\in X$ ve dolayısıyla $\bar \iota $ bir izomorfizmdir.

Not: Standart yapısı$\mathscr F^{sh}$ düşünmek $\mathscr F$ sap demetinin bir alt-başı olarak $\mathscr H(U):=\{\prod_{x\in U}s_x: s_x\in \mathscr F_x \}$ ve sonra bak $\tilde {\mathscr F}$ bu demet içinde.