Boyutunu bulun $V$

Oct 01 2020

İzin Vermek $T\in M_{m\times n}(\Bbb{R})$. İzin Vermek$V$ alt uzayı olmak $M_{n\times p}(\Bbb{R})$ tarafından tanımlandı $V=\{X\in M_{n\times p}(\Bbb{R}): TX=0\}$. Boyutunu bulun$V$.

Boyutunu bulmak için $V$. Bir harita tanımlayın$S:M_{n\times p}(\Bbb{R})\to M_{m\times p}(\Bbb{R})$ tarafından $S(X)=TX$. Açıkça,$S$doğrusal bir dönüşümdür. Eğer sahip olursam$\operatorname{dim}Ker(S)$ o zaman kolayca bulabilirim $\operatorname{dim}V$.

Ama nasıl bulunur $\operatorname{dim}Ker(S)$?

Herhangi bir yardım takdir edilecektir.

Yanıtlar

1 Vercassivelaunos Oct 01 2020 at 15:46

Bu soruyu iki adımda çözebiliriz. İlk adım, soruyu matrisler yerine doğrusal haritalarla ilgili olacak şekilde yeniden formüle etmektir. Sonra yeniden formüle edilmiş soruyu cevaplıyoruz.

Bir reformülasyon şu şekilde görünmelidir:

İzin Vermek $g:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$doğrusal ol. İzin Vermek$V$ alt uzayı olmak $\operatorname{Hom}(\mathbb R^p,\mathbb R^n)$ tarafından tanımlandı $V:=\{f\in\operatorname{Hom}(\mathbb R^p,\mathbb R^n)~:~g\circ f=0\}$. Boyutunu bulun$V$.

$\operatorname{Hom}(\mathbb R^p,\mathbb R^n)$ doğrusal haritaların alanıdır $\mathbb R^p\to\mathbb R^n$. Bu formülasyonu elde etmek için, içindeki her matrisin$M_{m\times n}(\mathbb R)$ sadece doğrusal bir haritanın temsilidir $\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ve bu tür her doğrusal harita, tam olarak böyle bir matrisle temsil edilir (ilgili vektör uzaylarının sabit tabanları verildiğinde). Ayrıca matrislerin$A,B$ doğrusal haritaları temsil eder $f,g$, sonra matris $BA$ doğrusal haritayı temsil eder $g\circ f$. Matris çarpımı kasıtlı olarak bunun doğru olacağı şekilde tanımlanmıştır. Bununla, alıyoruz$g$ ile temsil edilen doğrusal harita olmak $T$, ve $f$ ile temsil edilen doğrusal harita $X$ve sonra esasen çeviriyi bitirdik.

Şimdi soruyu çözme zamanı. Bunu doğru bir şekilde tanımladın$V$ haritanın çekirdeğidir $S:X\mapsto TX$. Doğrusal haritalar dilinde, bunun yerine$S:f\mapsto g\circ f$. Çekirdek$V$yeniden formüle edilmiş sorumuzda tanımladığımız gibi. Şimdi kendimize sormalıyız: Bu haritanın çekirdeği nedir? Bu her şeyin alanı$f\in\operatorname{Hom}(\mathbb R^p,\mathbb R^n)$ çekirdekte kimin görüntüsü var $g$çünkü o zaman ve ancak o zaman $g\circ f$ her şeyi eşlemek $0$. Dışında bir şey varsa$\ker g$ içinde bulundu $\operatorname{im}f$, sonra $g$ bunu başka bir şeye eşler $0$, yani $\operatorname{im}f\subseteq\ker g$. Ve diğer yönde, eğer$\operatorname{im}f\subseteq\ker g$, o zaman belli ki $g\circ f=0$.

Şimdi tüm doğrusal haritaların uzayının boyutunu bulmalıyız $\mathbb R^p\to\mathbb R^n$ kimin görüntüsü var $\ker g$. Bu esasen tüm doğrusal haritalar$\mathbb R^p\to\ker g$, yani, $\operatorname{Hom}(\mathbb R^p,\ker g)$. Ve boyutu$\operatorname{Hom}(V,W)$ sadece $\dim V\cdot\dim W$ herhangi bir vektör alanı için $V,W$. Bu durumda,$V=\mathbb R^p$ ve $W=\ker g$, yani $\dim\ker S=p\cdot\dim(\ker g)$.