Çapraz çarpım için formül
İki vektörün çapraz çarpımı için formül $R^3$, $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ ve $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ dır-dir $$\det\begin{pmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ a_1 & a_2 & a_3\\\ b_1 & b_2 & b_3\end{pmatrix}$$
Genel olarak üç 3B vektör için determinantın paralel yüzlünün hacmini temsil ettiğini biliyorum. Ama vektörleri (temel) koymak nasıl geçerlidir?$\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$bir vektöre dönüştüğünü ve grafiksel / sezgisel anlamı nedir? Bu formülün ilk motivasyonu ne olabilirdi?
Not: Benzer soruları ve karşılık gelen cevapları zaten okudum ancak tatmin olmadım. Bu yüzden lütfen bu soruyu olumsuz oylamayın ve mümkünse bana biraz fikir verin.
Yanıtlar
Yukarıdaki yorumlarda bir videoya bağlantı verdim, ancak bu yanıtta videodaki fikirleri özetleyeceğim. Ele almamız gereken 2 sorumuz var:
- Neden koymak mantıklı $\mathbf{i,j,k}$ belirleyici mi?
- Bu, çapraz çarpımın geometrik özelliklerine sahip bir vektörle nasıl sonuçlanır?
Başlangıç olarak, çapraz çarpımın "doğal" formunun bir vektör değil, bir fonksiyonun formu olduğunu iddia ediyorum. İki vektör verildiğinde$\mathbf a, \mathbf b$çapraz çarpım aslında işlevdir $f_{\mathbf a,\mathbf b}: \Bbb R^3 \to \Bbb R$ tarafından tanımlandı $$ f_{\mathbf a,\mathbf b}(\mathbf x) = \det\pmatrix{x_1 & x_2 & x_3\\a_1 & a_2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3}. $$ Başka bir deyişle, $f_{\mathbf a, \mathbf b}$ girdi olarak bir vektör alan bir fonksiyondur $\mathbf x = (x_1,x_2,x_3)$ve çıktısı, kenarları olan paralel boru hacmini üretir. $\mathbf{a,b,x}$. Bu işlevi bir vektör olarak düşünmek kolaydır çünkü doğrusal bir işlevdir ve her doğrusal işlev$f:\Bbb R^3 \to \Bbb R$ şeklinde yazılabilir $$ f(\mathbf x) = p_1 x_1 + p_2 x_2 + p_3 x_3. $$ Vektör $\mathbf p = (p_1,p_2,p_3)$ işlevi "kodlamanın" bir yolu olarak düşünülebilir $f$sahip olduğumuzdan beri $f(\mathbf x) = \mathbf p \cdot \mathbf x$, nerede $\cdot$bir iç çarpımı belirtir. Bu, 1. soruya verdiğimiz cevaba götürür: determinantı ile hesapladığımızda$\mathbf {i,j,k}$ üst satırdaki girdilere sahipse, bir vektör elde ederiz $p_1 \mathbf i + p_2 \mathbf j + p_3 \mathbf k$. Vektörler$\mathbf{i,j,k}$ girdi koordinatlarımız için yer tutucular olarak hareket etmek $x_1,x_2,x_3$: hesaplarsak $\mathbf p \cdot \mathbf x$ile sonuçlanırız $$ p_1 x_1 + p_2 x_2 + p_3 x_3, $$ Bu determinantı aşağıdaki girdilerle hesaplasaydık tam olarak elde edeceğimiz şeydi $\mathbf x$ üst sıramız olarak, yani hesaplarsak $f_{\mathbf a, \mathbf b}(\mathbf x)$ yukarıda verdiğim tanımdan.
2. soruya gelince, aşağıdaki gözlemleri yapabiliriz:
- Eğer $\mathbf x$ ya $\mathbf a$ veya $\mathbf b$, sonra $\mathbf p \cdot \mathbf x = f_{\mathbf a, \mathbf b}(\mathbf x) = 0$. Yani,$\mathbf p$ her ikisine de ortogonaldir $\mathbf a$ ve $\mathbf b$.
- Eğer takarsak $\mathbf x = \mathbf p/\|\mathbf p\|$o zaman onu bulmalıyız $\mathbf p \cdot \mathbf x = \frac{\mathbf p \cdot \mathbf p}{\|\mathbf p\|} = \|\mathbf p\|$. Determinantın pozitifliğinden, yönünün$\mathbf p$ şekildedir $\mathbf p, \mathbf a, \mathbf b$sağ elini kullanan bir sistem oluşturur. Gerçeğinden$f_{\mathbf a, \mathbf b}(\mathbf x) = \|\mathbf p\|$, bunu çıkarabiliriz $\|\mathbf p\|$ paralelkenarın kenarları olan alanına eşittir $\mathbf a, \mathbf b$.
Bununla, çapraz ürünün özelliklerini çıkarıyoruz: $\mathbf p = \mathbf a \times \mathbf b$ her zaman ortogonaldir $\mathbf a , \mathbf b$. Ne zaman$\mathbf p \neq \mathbf 0$, $\mathbf p$ yönünü gösterir öyle ki $\mathbf a, \mathbf b, \mathbf p$sağ elini kullanan bir temel oluşturur. En sonunda,$\|\mathbf p\|$ paralelkenarın kenarları olan alanıdır $\mathbf a, \mathbf b$.
Birkaç yorumun da işaret ettiği gibi, yazdıklarınız gerçek bir formül değil, anımsatıcı bir aygıttır. İşte aynı ruhla gerçek bir formül.$$\eqalign{ \vec a\times \vec c &= &{\bf i}\,&\det\Big(\,\big[\matrix{\bf i&\vec a&\vec c}\big]\,\Big) \\ &+ \;&{\bf j}\,&\det\Big(\,\big[\matrix{\bf j&\vec a&\vec c}\big]\,\Big) \\ &+ &{\bf k}\,&\det\Big(\,\big[\matrix{\bf k&\vec a&\vec c}\big]\,\Big) \\ }$$