Clifford grubu sonlu mu?

Question

Herhangi bir sabit için $n$bunu nasıl kanıtlarız $n$-qubit Clifford grubu (alt grubu $ U(2^n) $Hadmard kapıları, faz kayması kapıları ve CNOT kapıları tarafından üretilir) bitmiş mi değil mi? Sadece H geçidi ve S kapısının dahil olduğu tek kübit durumu için, bu iki geçidin karşılık gelmesinden dolayı bunun sonlu bir grup olduğunu biliyorum.$\pi$simetriyi gösteren eksenler boyunca Bloch küresi üzerindeki rotasyonlar. Sanırım çoklu kübit durumunda sınırlı kalmaya devam ediyor, ancak bunu kesin olarak kanıtlamanın bir yolunu bulamadım.

Üstelik, sonlu ise, gruptaki eleman sayısının bir fonksiyonu olarak ifadesi nedir? $n$?

Answer 1

Bazen, sahada Clifford grubu etrafında biraz kafa karışıklığı oluyor ... ve bu bir tanım meselesi.

Pek çok insan Clifford grubunu tanımlıyor $\mathrm{Cl}_n(p)$ nın-nin $n$ asal boyutun sayıları $p$genelleştirilmiş Pauli grubunun üniter normalleştiricisi olarak (örneğin Gottesman, Nielsen & Chuang). Bu nedenle, merkez olduğu gibi açıkça sonlu bir grup değildir.$U(1)$.

Bununla birlikte, bu aynı zamanda hem matematiksel hem de fiziksel açıdan kötü bir tanımdır. Neden? Birincisi, merkez matematiksel olarak sıkıcı olduğundan ve grubun yapısına hiçbir şey eklemediğinden ve ikincisi, üniterin küresel aşaması fiziksel değildir.

Bunu çözmenin üç yolu vardır:

1. Jeneratörleri ile tanımlayın (Gottesman'ın yüksek dimensonal jeneratörler hakkındaki makalesine bakın). O zaman, tüm üreteçlerin cebirsel matris girişleri olduğu için bunun sonlu olduğu açıktır. Standart üreteçleri kullanarak, kübit durumunda hala çok büyük bir merkez elde edeceksiniz:$\mathbb{Z}_8$. Minimal olan$\mathbb{Z}_4$ kübit durumunda bir $\mathbb{Z}_p$qudit durumunda. Yeniden Tanımlanıyor$H$ kapısı olarak $\frac{1+i}{\sqrt{2}} H$ merkezi kübitler için minimum yapar.
2. Bunu, üniter gruptaki normalleştirici olarak tanımlayabilirsiniz. $\mathbb{Q}[i]$(rasyonel karmaşık sayılar). Bu size minimum merkeze sahip bir grup verecektir (bkz. Ref. 1).
3. Projektif grubu tanımlayın $\overline{\mathrm{Cl}}_n(p):=\mathrm{Cl}_n(p)/U(1)$veya eşdeğer olarak, ek temsil altındaki görüntü, yani Cliffords ile bağlantılı üniter kanallar. Öğeleri, komutasyon ilişkilerini koruyan Pauli operatörlerinin (muhtemelen ek fazlarla) permütasyonları olarak görülebilir. Olduğundan beri$p^{2n}$ Pauli operatörleri, permütasyonların sayısı sonludur (ve dolayısıyla $\overline{\mathrm{Cl}}_n(p)$). Üstelik tutuyor$$ \overline{\mathrm{Cl}}_n(p)/\overline{\mathcal{P}}_n(p) \simeq \mathrm{Sp}_{2n}(p), $$ nerede $\overline{\mathcal{P}}_n(p)$ (genelleştirilmiş) Pauli grubu aşamalara kadar ve $\mathrm{Sp}_{2n}(p)$ sonlu alan üzerindeki semplektik gruptur $\mathbb{F}_p$. Onun kardinalitesi$$ |\mathrm{Sp}_{2n}(p)| = p^{n^2} \prod_{i=1}^n (p^{2i} - 1). $$ Bu nedenle, projektif Clifford grubunun kardinalitesi vardır. $$ |\overline{\mathrm{Cl}}_n(p)| = |\overline{\mathcal{P}}_n(p)| |\mathrm{Sp}_{2n}(p)| = p^{2n} p^{n^2} \prod_{i=1}^n (p^{2i} - 1) $$Yansıtmasız olanlar için, merkezin düzeniyle çarpılması gerekir. Referans için bkz. Örneğin Ref. 2

Referanslar:

1. Gabriele Nebe, EM Rains ve NJA Sloane. "Clifford gruplarının değişmezleri"
2. D. Gross, "Hudson'ın sonlu boyutlu kuantum sistemleri için teoremi"