Cobb Douglas işlevi nasıl elde edildi?
Ekonomi ve ekonometride, Cobb-Douglas üretim işlevi, iki veya daha fazla girdinin (özellikle fiziksel sermaye ve emek) miktarları ile olabilecek çıktı miktarı arasındaki teknolojik ilişkiyi temsil etmek için yaygın olarak kullanılan, üretim işlevinin belirli bir işlevsel biçimidir. bu girdiler tarafından üretilebilir. Cobb-Douglas formu, 1927-1947 yılları arasında Charles Cobb ve Paul Douglas tarafından istatistiksel kanıtlara göre geliştirilmiş ve test edilmiştir.
Formülü nasıl elde ederiz $f(K,L)=AK^aL^{1-a}$? Bunu nasıl elde ederiz$K$ bazı faktörlere yükseltilmelidir "$a$"ve bu çarpılmalıdır $L$ bazı faktörlerle yükseldi "$1-a$"? Bu formülün kanıtı nedir? Bu sorulara cevap bulamıyorum, çok araştırıyorum.
Güncelleme. Nasıl çıkarılacağını gösteren bir makale buldum ama bazı adımları anlamıyorum, biri bana yardım edebilir mi? İşte bağlantı:
https://www.studocu.com/en-gb/document/kings-college-london/mathemtics-for-economists/lecture-notes/cobb-douglas-revision/4229598/view
Bu terimlerle Cobb ve Douglas tarafından yapılan varsayımlar şu şekilde ifade edilebilir:
- Emek ya da sermaye yok olursa, üretim de kaybolur.
- Emeğin marjinal üretkenliği, emek birimi başına üretim miktarı ile orantılıdır.
- Sermayenin marjinal üretkenliği, sermaye birimi başına üretim miktarı ile orantılıdır.
Çözme. Çünkü birim emek başına üretim$\frac{P}L$ , varsayım 2 şunu söylüyor:
$$\frac{∂P}{∂L} = α\frac{P}L $$
bazı sabit α için. K'yi sabit tutarsak ($K = K_0$), sonra bu kısmi diferansiyel denklem, sıradan bir diferansiyel denklem haline gelir:
$$\frac{dP}{dL} = α\frac{P}L $$
Bu ayrılabilir diferansiyel denklem, terimleri yeniden düzenleyerek ve her iki tarafı da birleştirerek çözülebilir:
$$\int \frac{1}P \, dP = α\int \frac{1}L \, dL$$ $$ln(P)=α*ln(cL)$$ Örneğin burada, "c" sabiti nereden geliyor? , ardından takip edin:$$ln(P)=ln(cL^α)$$ $$P(L,K_0)=C_1(K_0)L^α$$ nerede $C_1(K_0)$ entegrasyon sabitidir ve bunu bir fonksiyonu olarak yazıyoruz $K_0$ değerine bağlı olabileceği için $K_0$.
Yanıtlar
Bu formülün kanıtı nedir?
Aslında üretim fonksiyonunun ne olması gerektiğine dair bir kanıt yok. Sonsuz sayıda olası üretim işlevi vardır ve hangisinin en uygun olduğunu keşfetmek için bazı deneysel gözlemler yapmamız gerekir. Farklı durumlarda farklı üretim fonksiyonları uygundur. Cobb-Douglas popüler prodüksiyon işlevidir ancak diğerlerini de gördüm.
Aşağıda güncellemenizde sunduğunuz şey, üretimin Cobb-Douglas olması gerektiğine dair bir kanıt değil, üretim hakkında bazı belirli varsayımlar yaparsak (ki bu oldukça genel olsa da aslında her zaman gerekli olmayabilir) işlev aldığımızın bir kanıtıdır. bu Cobb-Douglass.
$ln(P)=α∗ln(cL)$ Örneğin burada, "c" sabitinin geldiği yerden?
$c$bir entegrasyon sabitidir. Ne zaman, belirsiz integralleriniz olduğunda, bazı sabitler eklemelisiniz.$c$ çözüme, çünkü farklılaşma sırasında sabitler elenir, daha önce bir sabit olup olmadığını asla bilemeyiz, bu yüzden integrasyondan sonra her zaman ekleriz $c$.
Bu durumda, ayrılabilir diferansiyel denklemi entegre ettiğinizde, çözüm aslında şöyle görünecektir:
$$\ln(P)= \alpha (\ln(L) + C) \implies\ln(P)= \alpha \ln(cL) | C= \ln(c) $$
(aslında değişkenler mutlak değerlerde bile olmalıdır - ancak işlev yalnızca negatif olmayan değerler için tanımlandığından $P,L$ ve $K$ onları ihmal edebiliriz).
Cobb ve Douglas'ın (1928) orijinal makalesini okursanız, https://www.aeaweb.org/aer/top20/18.1.139-165.pdf ,
152. sayfanın sonunda yazarların geçmişte teorik olarak tartışılan iki özelliği hesaba kattıklarını vurguladıklarını göreceksiniz:
Bu üretim ölçeğe göre sabit getiri sergiler, yani tüm girdilerin iki katına çıkarılması çıktıyı ikiye katlar.
Her iki üretim girdisinin de üretim için gerekli olduğu için, biri sıfır olduğunda çıktı sıfır olmalıdır.
2. özelliği tatmin etmek için çarpımsal formu seçtiler. Bunu göz önünde bulundurarak, ilk özelliği tatmin etmek için üslerin toplamını eşit hale getirmeleri gerekiyordu, bu yüzden$a$, ve $1-a$. Sahibiz$0<a<1$ böylece çıktı her çıktıya olumlu yanıt verir.
Sabitin varlığı $A$ içinde $Q = AK^aL^{1-a}$ iki şeyle ilgilenir: herhangi bir "ölçü birimi" sorunu ama aynı zamanda çıktıya katkıda bulunabilecek diğer tüm kuvvetlerin ortalaması.