Darboux teoremi hakkında
Öğrendiğim şey, Darboux teoreminin sürekli olmayan fonksiyonun ara değer teoremi ile de doğru olabileceğini kanıtlamak için kullanılabileceğini söylüyor. Bu doğru mu? Ama bu teoremi ispatlarken neden bu konu hakkında konuşmuyoruz? Bu o kadar önemli değil mi? Lütfen cevap verin ..... ps İngilizce'de iyi olmadığım için üzgünüm ... ve Kore'de lise öğrencisiyim. Diğerlerinden daha kolay açıklayabilir misin?
Yanıtlar
Türevlenebilir herhangi bir işlevi düşünün $f(x)$.
Öyleyse, özel durumda $f(x)$ sürekli türevlenebilir, sonra tabii ki türev $f'(x)$dır-dir. sürekli ve dolayısıyla, ara değer teoremi (IVT) ile sınırları arasındaki tüm değerleri elde edecektir. Tekrarlamak gerekirse, fonksiyonumuzun sürekli türevlenebilir olduğu bu özel durumda , evet Darboux'un teoremi sadece olağan IVT'dir.
Şimdi, sürekliliğin olduğu daha genel durumda $f'(x)$garanti edilmez, her zamanki IVT'mizi uygulayamayız. Ama çünkü$f(x)$türevlenebilir olsa da Darboux'un teoremini uygulayabiliriz, bu da bize IVT'nin uygulanabilir olsaydı ne vereceğini verir. Elbette ki fark, IVT'nin kanıtının, hipotezi tatmin edilmediği için işe yaramayacağıdır, ancak Darboux'un kanıtı, IVT'den farklı gereksinimleri olduğu için çalışır.
Son olarak özetlemek gerekirse, eğer bir fonksiyonunuz varsa ve bunun bir fonksiyonun türevi olduğunu biliyorsanız, Darboux sayesinde bu fonksiyon sürekli olmasa bile IVT'nin sonucunu elde edebilirsiniz. Elbette, işlevin sürekli olması durumunda, bu işlevin bir işlevin türevi olup olmadığını umursamadan IVT'yi doğrudan kullanabilirsiniz.
Not: Fazlalıklar için özür dilerim, ancak dil boşluğunu aştığımdan emin olmak istedim.