Determinant 1 ile Üst Üçgen Matris

Question

Ters çevrilebilir üçgen matrisler grubu göz önüne alındığında $T(n,K)\subset GL(n,K)$. Sonra set$ST(n,K):= \{M\in T(n,K), \det(M)=1\}$ normal bir alt grup oluşturur $T(n,K)$. Ayrıca, tüm köşegen girişleri 1 olan üst üçgen matrisler grubunun normal bir alt grup olduğu bilinmektedir.$T(n,K)$, Bunu aramak $U(n,K)$. Ancak, herhangi birini alın$P\in ST(n,K), A\in U(n,K), PAP^{-1}$ köşegen girişlerinin köşegen girişlerinin çarpımı olan bir üst üçgen matristir. $P$ ve $P^{-1}$ 1 olmayabilir, ilgili konumda $ST(n,K)$. Diğer yaygın matris türlerini test ettim (bazıları üst üçgen olacak şekilde değiştirildi), ancak için normal bir alt grup bulamadım$ST(n,K)$. Normal bir alt grubu var mı? Eğer öyleyse, neye benziyor?

Answer 1

İçin $n=3$ basitlik için, öyle değil mi:

$\begin{pmatrix} a \ * \ * \\ 0 \ b \ * \\ 0 \ 0 \ c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \ * \ * \\ 0 \ 1 \ * \\ 0\ 0 \ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \ * \ * \\ 0 \ b \ * \\ 0 \ 0 \ c \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} 1 \ * \ * \\ 0 \ 1 \ * \\ 0 \ 0 \ 1 \end{pmatrix}$