Dikdörtgen bir alan üzerinde global maksimum / minimum bul
Bu işlevin tüm genel maksimum / minimum noktalarını bulun:
$$f(x,y) = (x-3)^2 + (y-4)^2 + 100$$
Köşeleri olan bir dikdörtgende:
$$(-2,-1), (3,-1), (-2,1) , (3,1)$$
Bu dikdörtgeni çizmeye çalıştım ve anladım:
$$ [-2,3] \times [-1, 1] $$
Kısmi türevleri hesapladım:
$f_x = 2(x-3) = 0 \Rightarrow x = 3$
$f_y = 2(y-4) = 0 \Rightarrow y = 4$
Ve böylece anladım ki tek nokta $(3,4)$
Dikdörtgende olmayan ... yani global maks / min noktaları yok mu? Bunun yanlış bir yaklaşım olduğunu düşünüyorum, yardımınız için minnettar olurum!
Teşekkür ederim!
Yanıtlar
Nerede noktaları bulmak $f_x = 0$ ve $f_y = 0$size bölgenin iç kısmındaki tüm yerel ekstremaları verir$[-2, 3] \times [-1, 1]$yani açık dikdörtgen $(-2, 3) \times (-1, 1)$. Gösterdiğiniz şey, iç kısımda hiçbir yerel ekstrema olmadığıdır. Bununla birlikte, dikdörtgenin sınırında yine de maksimum / minimum olabilir. (Aslında, çünkü$[-2, 3] \times [-1, 1]$ kompakttır, analiz bize küresel bir maksimum ve minimum bulabileceğimizi söyler.)
Bu global maksimum ve minimumları bulmak için, hangi değerlere bakmanız gerekir? $f$ dikdörtgenin sınırını alır $[-2, 3] \times [-1, 1]$. Ne zaman en küçük / en büyük?
Örneğin, önce dikdörtgenin alt kenarına bakabiliriz. Bu, noktalar kümesidir$\{ (a, -1): a \in [-2, 3] \}$. Bu bölgede bizim fonksiyonumuz$f$ değerleri alır
$$f(x, -1) = (x- 3)^2 + (-1 - 4)^2 + 100 = x^2 - 6x^2 + 134$$
dan beri $y$ her zaman $-1$dikdörtgenin alt kenarında. Buradan, değer (ler) ini hesaplamak için tek değişkenli hesabı kullanabilirsiniz.$x$ içinde $[-2, 3]$ hangisi için $f$ minimum / maksimumdur.
Sonra aynı şeyi diğer taraflar için de yapın.
(Düzenleme: dikdörtgenin iç kısmına ek olarak kenarlarını da kontrol etmeniz gerektiği gibi, kenarlara ek olarak kenarların (yani dört köşenin) "kenarlarını" da kontrol etmeniz gerekir! Başka bir deyişle, yapma ' f'yi dört köşenin her birinde hesaplayıp hesaplamayacağınızı unutun ve uç noktayı verip vermediğine bakın.)
Bulduğunuz noktanın dikdörtgende olmaması, genel işleve bakarsanız maksimum / minimum noktanın dikdörtgende olmadığı anlamına gelir. Ancak, fonksiyonun dikdörtgenin sınırladığı küçük bir bölgesine bakıyoruz.
Bu dikdörtgenin sınırladığı herhangi bir fonksiyonun grafiğini hayal edebiliyorsanız, sınırda bir yerde kesinlikle bir maksimum ve minimuma sahip olduğunu fark edeceksiniz. Tek değişkenli analizde bu, uç değer teoremi ile açıklanır.
Dolayısıyla, fonksiyonun y = 1, y = -1, x = -2 ve x = 3 düzlemlerinin kesişmesinden kaynaklanan dört çizginin maksimum ve minimum noktalarını bulmalısınız. Bu düzlemler, dikdörtgenin kenarları.
Daha fazla sorunuz olursa yardımcı olmaktan memnuniyet duyarım.
Ekstremanın sınırda yer aldığı klasik durumdasınız, bu nedenle, gerçekten de kısmi türevleri yok etmenin bir faydası yok.
Geometrik düşünün: Probleminiz bir paraboloidin kesişme noktasıyla ilgilidir $P$ kimin zirvesinde $(3,4,100)$ ve tarafından tanımlanan eksen $x=3,y=4$ ve bir kutu $B$ Bulduğunuz Oxy düzlemi ile kesişme noktası olan.
Açıklama: Kavşak $I=B \cap P$ parabolik yayların bir birleşimidir.
I'nin en alçak noktası dikey eksen boyunca olacak $(x=3, y=1)$(P eksenine en yakın olan). Bu değerleri denkleme koyun$z_{min}=109$.
I'nin en yüksek noktası, P ekseninden en uzak olan kutunun dikey kenarında, yani koordinatlarla elde edilecektir. $(x=-2,y=-1)$. Bir kez daha, bu değerleri denklemde yerine koyun.$z_{max}=150$.