Dır-dir $\frac{u}{|u|}$ 1- Lipschitz?

Question

Uygulama olduğunu kanıtlamak istiyorum $\{s\in \mathbb{R}^3:|s|\geq 1\} \to S^2 ,u\mapsto \frac{u}{|u|}$ sabittir Lipschitz $1$. Eklersem ($\frac{u|u|-u|u}{|u||v|}|$), Sabiti eşit buluyorum $2$(kullanılan norm, öklidien normudur). Değil mi$1$-Lipschitz?

teşekkür ederim

Answer 1

Bu $1-$ Lipschitz. $|\frac u {|u|} -\frac v {|v|}|^{2}=1+1-2\frac {u.v} {|u||v|}$ ve $|u-v|^{2}=|u|^{2}+|v|^{2}-2u.v$ veya $2(u.v) (1-\frac 1 {|u||v|}) \leq |u|^{2}+|v|^{2} -2$. CS eşitsizliği uygulandığında Lipschitz özelliği,$2ab(1-\frac 1 {ab}) \leq a^{2}+b^{2}-2$ nerede $a=|u|$ ve $b=|b|$ ve bu azalır $(a-b)^{2} \geq 0$ hangisi doğru.

Answer 2

Dışbükey setlerde izdüşümü kullanan bir kanıt

$B_3$ kapalı birim topu $\mathbb R^3$kapalı bir dışbükey alt kümedir. İstenilen sonuç, üzerindeki projeksiyonun kanıtlanmasından ibarettir.$S^2$ puanların $\mathbb R^3 \setminus B_3$ sözleşme yapıyor.

Kanıt burada bulunabilir .

İsterseniz özel durumunuzda bu kanıtı taklit edebilirsiniz.

Answer 3

Kesişim teoremini kullanarak geometrik ispat

Genelliği kaybetmeden varsayalım ki $1 \le \vert u \vert \le \vert v \vert$ ve göster $v^\prime = v \frac{\vert u \vert}{\vert v \vert}$. Dikkat edin$\vert v^\prime \vert = \vert u \vert$.

Üçgenler için kesişme teoremini kullanma$0 \ \frac{u}{\vert u \vert }\ \frac{v}{\vert v \vert }$ ve $0 \ u \ v^\prime$ sen alırsın

$$\begin{aligned} \vert u - v \vert^2&= \vert u - v^\prime\vert^2 + \vert v^\prime - v\vert^2 + 2 \langle u - v^\prime, v^\prime -v \rangle\\ &\ge \vert u - v^\prime \vert^2\\&= \vert u \vert^2 \left\vert\frac u {|u|} -\frac v {|v|}\right\vert^2\\ &\ge \left\vert\frac u {|u|} -\frac v {|v|}\right\vert^2 \end{aligned}$$

$\langle u - v^\prime, v^\prime -v \rangle \ge 0$ Çünkü $\angle u v^\prime v \ge \frac{\pi}{2}$.