Eğer $\{a_n\}$ pozitif bir dizidir ve $b_n := a_1/a_2 + \dotsb + a_{n-1}/a_n + a_n/a_1$, sonra onu göster $\lim_{n \to \infty} b_n = \infty$.
İzin Vermek $a_n$ pozitif bir sekans olabilir.
Biz tanımlıyoruz $b_n$ aşağıdaki gibi:
$$b_n = \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1}$$
Soru: Bunu kanıtlayın$\lim b_n=\infty$.
Önerdiğim çözüm: Tersini kanıtlayabildim (sınırın sonsuz olmadığını), bana neyi yanlış yaptığımı gösterebilir misiniz?
aldım $a_n$ aşağıdaki gibi: $1,1,2,8,64,1024,\dots$ Sonra $b_n$ dır-dir: $$1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + \dotsb + a_n.$$ Sonuncusu dışındaki ilk öğeler, yakınsayan geometrik bir ilerlemenin toplamıdır. $2$ ne zaman $n$ çok büyük olduğu için genel sınır $2+a_n$ elbette ki sonsuz değil ...
Yanıtlar
Karşı örneğinizde bir şey çalışmıyor, gerçekten de
$$\large {a_n=2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}}\to \infty$$
ve bu nedenle
$$b_n= \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{2^{n-1}} + a_n\ge a_n \to \infty$$
Bunu kanıtlamak için $b_n \to \infty$, AM-GM tarafından bizde
$$b_n = \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1} \ge n \sqrt[n]{\frac{a_1}{a_2} \cdot \frac{a_2}{a_3} \cdot \ldots \cdot \frac{a_{n-1}}{a_n} \cdot \frac{a_n}{a_1}}=n\cdot 1=n\to \infty$$
daha sonra sıkıştırma teoremi ile sonuçlandırın.
Yazabiliriz
$$b_n=c_1+c_2+c_3+\cdots c_{n-1}+\frac1{c_1c_2c_3\cdots c_{n-1}}$$ nerede $c_k$ pozitif sayılardır.
Minimum değeri $b_n$ gradyan iptal edilerek bulunur,
$$\forall k:1-\frac1{c_1c_2c_3\cdots c_{n-1}c_k}=0$$ veya $$c_k=\frac1{c_1c_2c_3\cdots c_{n-1}}=\frac1p.$$
Çözüm şudur $p=c_k=1$ ve $b_n=n$ @user tarafından bağımsız olarak bulunan olası en küçük toplamdır.