$\ell^1$ functor, birim top functoruna bitişik olarak solda

Jan 07 2021

Bu cevaba bir yorumda

https://mathoverflow.net/a/38755/1106

Yemon Choi, "The $\ell^1$ functor, unutkan birim top işlevine bitişik bırakılan boş Banach uzay işlevidir ".

Bu ifade benim ilgimi çekiyor, ancak Yemon'un burada hangi kategorilerden ve işlevcilerden bahsettiğinden tam olarak emin değilim. Bir tarafta Banach uzayları kategorisine sahip olduğumuzu hayal ediyorum (hangi haritalarla?), Peki ya diğer tarafta? Burada detayları doldurabilecek biri varsa çok memnun olurum. Ayrıca, bu perspektifi ele alan işlevsel bir analiz metnine başvuran varsa, bu yanıttan da memnun olurum.

Yanıtlar

6 QiaochuYuan Jan 07 2021 at 04:04

Kategori almak istiyorsun $\text{Ban}_1$Banach uzayları ve kısa haritalar (operatör normunun doğrusal haritaları$\le 1$). Birim top functor$U : \text{Ban}_1 \to \text{Set}$ ile temsil edilmektedir $\mathbb{C}$ve onun sol ek noktası bir küme gönderir $S$ ortak ürününe $S$ Kopyaları $\mathbb{C}$hangi çıkıyor $\ell^1(S)$. Bu, doğal bir bijeksiyonumuz olduğunu söylüyor

$$\text{Hom}_{\text{Ban}_1}(\ell^1(S), B) \cong \text{Hom}_{\text{Set}}(S, U(B))$$

bir setten bir harita olduğunu söyleyen $S$ birim topuna $U(B)$ bir Banach alanının benzersiz ve özgürce kısa bir haritaya uzanması $\ell^1(S) \to B$, "doğrusallık" ile.

Sezgisel olarak konuşursak, bu şunu söylüyor: $\ell^1(S)$ -dan elde edilir $S$ her bir unsurun $S$ norm var $1$ (böylece birim topun içindedir ve başka bir birim topun başka herhangi bir öğesiyle kısa bir süre eşleşebilir) ve ardından doğrusal bir kombinasyon $\sum c_s s$bununla uyumlu mümkün olan en büyük norma sahiptir (böylece başka herhangi bir Banach uzayındaki bu tür diğer doğrusal kombinasyonlarla kısa sürede eşleşebilir). Sahibiz$ \| \sum c_s s \| \le \sum |c_s|$ üçgen eşitsizliği ve $\ell^1$ norm, bunun eşitlik durumudur.

Bu yapı, ortak ürünün inşasına genelleştirir. $\text{Ban}_1$, şuna benzer: if $B_i$ Banach alanlarından oluşan bir koleksiyon, bunların ortak ürünleri $\text{Ban}_1$ vektör uzayı doğrudan toplamının tamamlanmasıdır $\bigoplus_i B_i$ saygıyla "$\ell^1$ norm" $\sum_i \| b_i \|_{B_i}$.

Kendini tanıttığım için özür dilerim, ama ben sitenin kategorik özellikleri hakkında biraz daha detaya giriyorum. $\text{Ban}_1$(örn. tam, tamamlayıcı ve kapalı simetrik monoidal) Banach alanlarındaki blog yazımda (ve Lawvere ölçümleri ve kapalı kategoriler) . Özellikle kısa haritaların kullanımını motive etmeye çalışıyorum. Yalnızca sınırlı doğrusal haritalarla çalışırsak, evrensel bir özellik aracılığıyla bir Banach uzayını izometriye kadar kurtarmayı umamayacağımızı, oysa$\text{Ban}_1$izometrik. Öte yandan, kategorik dil, kapalı yapı üzerinden sınırlı haritalardan bahsetmeye hâlâ muktedirdir.

5 YemonChoi Jan 07 2021 at 04:08

Bang (Ban, geometrik), nesneleri Banach uzayları ve morfizmleri normu olan doğrusal haritalar olan kategoriyi göstersin. $\leq 1$. (Reel veya karmaşık skaler üzerinde çalışabiliriz.) Nesneleri kümeler ve morfizmaları fonksiyonlar olan kategori Küme olsun.$\newcommand{\Ball}{{\sf ball}}$

Bir functor var $\Ball$Her Banach boşluğuna kapalı birim topunu atayan Bang'den Set'e; Bang'in morfizmlerindeki koşul, her birinin$f:X\to Y$ Bang'de bir işlevle sınırlıdır $\Ball(X) \to \Ball(Y)$.

Bir sol ek ne olurdu $\Ball$gibi görünmek? Açıklamayı / karakterizasyonu virgül kategorilerindeki ilk nesneler açısından kullanabiliriz. Yani her set için$S$ Banach alanı istiyoruz $F(S)$ ve bir işlev $\eta_S: S \to\Ball(F(S))$ şu evrensel özelliğe sahip: her zaman $E$ bir Banach alanıdır ve $h:S\to \Ball(E)$ bir işlevdir, benzersiz bir Bang-morfizmi vardır $T: F(S)\to \Ball(E)$ öyle ki $\Ball(T)\circ\eta_S=f$ işlevler olarak.

Çeşitli morfizmlerin tanımlarını çözme: ihtiyacımız olan şey, herhangi bir işlev için $h$ itibaren $S$ -e $E$ doyurucu $\Vert h(j)\Vert \leq 1$ hepsi için $j\in S$benzersiz bir doğrusal harita olmalıdır $T: F(S) \to E$ öyle ki $\Vert T(v)\Vert \leq \Vert v\Vert$ hepsi için $v\in F(S)$ ve $T(\eta_S(j))=h(j)$ hepsi için $j\in S$.

İşleri motive etmeye çalıştıktan sonra, Ansatz yapalım . Tanımlamak$F(S)$ Banach alanı olmak $\ell_1(S)$ olağan normu ile $\Vert\quad\Vert_1$; İzin Vermek$(e_j)_{j\in S}$ kanonik temel ayırıcıları gösterir $\ell_1(S)$. Doğrusal harita için tek olası aday$T:\ell_1(S) \to E$ is: define $T(e_j):= h(j)$ her biri için $j$ve doğrusallık ve süreklilik ile genişletir. Bunun işe yaradığını görmek için, bunu herhangi biri için gözlemleyin.$v=\sum_{j\in S} \lambda_j e_j \in \ell_1(S)$ sahibiz

$$ \Vert \sum_{j\in S} \lambda_j h(j) \Vert \leq \sum_{j\in S} \vert \lambda_j \vert \Vert h(j)\Vert \leq \sum_{j\in S} \vert \lambda_j \vert \sup_{j\in S} \Vert h(j)\Vert \leq \Vert v \vert_1 $$

Özetle: esasen yukarıdaki argümanın söylediği şey şudur: $\ell_1(S)$ Banach alanına $E$ sınırlı bir işlevi tanımlar $S\to E$ve bu tersine her sınırlı işlev $S\to E$ benzersiz bir sınırlı doğrusal uzantıya sahiptir $\ell_1(S)\to E$. (Kategorici dilden ziyade analist dilinde ifade edilen bu paragrafın biraz daha genel olduğunu unutmayın çünkü her şeyin normlara sahip olmasını istemiyorum.$\leq 1$; ancak, bu analizin güzel bir ifadesini - yardımcıların dilinde - gerçeği - almak istiyorsa, Bang ile sınırlamak gerekli görünüyor.)

Aslında daha ileri gidebilir ve birleşim izomorfizmi diyebiliriz. $Set(S, \Ball(E)) \cong {\rm Bang}(\ell_1(S),E)$A priori, kümelerin doğal olarak davranan bir bijeksiyonu olan, Bang'deki bir izomorfizme zenginleştirilebilir: $\ell_\infty(S;E) \cong {\mathcal B}(\ell_1(S),E)$.

1 IvanDiLiberti Jan 07 2021 at 03:29

Bu Egzersiz 20 üzerinde, sayfa 167 yılında Fonksiyonel Analizi anlatım ve Egzersizleri tarafından Helemskii .

Daha geniş bir tartışma ile gerçekleştirilir Jiri Rosicky de monadic Are Banach uzayı? , arXiv: 2011.07543 .