Elyaf boyutu

Question

İzin Vermek $f:X\rightarrow Y$ cebirsel şemaların (cebirsel olarak kapalı bir alan üzerinde) bir örten morfizmi olması $F$ karakteristik $0$). Bence iyi durumlarda ($X$ ve $Y$ indirgenemez) her biri için buna sahibiz $y$ içinde $Y$ lifin boyutu $f^{-1}(y)$ en azından $\dim X-\dim Y$. İndirgenemezlik varsayımından vazgeçersek ne olur? Boyutunun bu alt sınırına karşı örnekler mi?$f^{-1}(y)$?

Answer 1

Evet, ihtiyacınız yoksa $Y$ indirgenemez olması için bu sınır ihlal edilebilir.

En ucuz örnek almaktır $f: X \rightarrow Y$ Sevdiğiniz göreceli boyutu kuşatan, daha büyük $0$, İzin Vermek $X'$ ve $Y'$ her birinin bir nokta ile ayrık birlikteliği olun ve tanımlayın $f'$ eşit $f$ açık $X$ ve yeni noktanın haritasını çıkarmak için $X$ yeni noktaya $Y$.

Bağlantıya ihtiyacınız varsa, benzer bir şey yapabilirsiniz, şimdi enine bir çizgi ekleyerek $X$ bir noktada $x$ ve başka bir satır $Y$ -de $f(x)$ve genişletiliyor $f$ çizgiyi izomorfik olarak çizgiye eşleyerek.

---

Biraz daha kurcalayarak, bir örnek de hazırlayabiliriz. $Y$ aşağıdaki gibi indirgenemez.

İzin Vermek $Y=\mathbf A^1$, İzin Vermek $Z \subset \mathbf A^2$ tarafından tanımlanmak $xy=1$ve izin ver $q:Z \rightarrow Y$ilk faktörün izdüşümü olun. Bu harita, açık küme üzerine bir izomorfizmdir$Y \setminus \{0\}$.

Şimdi izin ver $W=Z \times \mathbf A^1 \subset \mathbf A^3$. Sonra projeksiyon haritası$W \rightarrow Y$ her noktada 1 boyutlu liflere sahiptir $y \neq 0$lif biterken $0$ boş.

Sonunda izin ver $L$ eksen ol $\{(t,0,0) \mid t \in k \} \subset \mathbf A^3$ve izin ver $X=W \cup L \subset \mathbf A^3$. Sonra projeksiyon$X \rightarrow Y$ her biri 1 boyutlu liflerle örten $y \neq 0$ve 0 boyutlu fiber üzerinden $0 \in Y$.