Entegrasyon nerede bitiyor?
integrallerde yeniyim. Çözüyorum$$ \int \frac{1}{2x^2+6}$$ ama yanlış cevap aldım: $$ \frac{1}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$ Doğru cevap şöyle olmalıdır: $$ \frac{\sqrt3}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$ İşte tam denemem: $$ \int \frac{1}{6(\frac{2x^2}{6}+1)} = \int \frac{1}{6(1+(\frac{x}{\sqrt3})^2)} = \frac{1}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}$$ Beni düzeltip öğrenmem için bana bir kaynak verebilir misin?
Şimdiden teşekkürler!
Yanıtlar
Şu adıma kadar (ve dahil) tamamen haklısınız:
$${=\int \frac{1}{6\left(1 + \left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)^2\right)}dx}$$
Yanlış bir şekilde uyguluyorsunuz
$${\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan(x)+c}$$
Olması gerektiğine dikkat edin ${1+x^2}$- değil ${1+ax^2}$. Bunun yerine, ikameyi yapmalısınız${u=\frac{x}{\sqrt{3}}}$ almak
$${=\frac{\sqrt{3}}{6}\int\frac{1}{1+u^2}du=\frac{\sqrt{3}}{6}\arctan(u)+c=\frac{\sqrt{3}}{6}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)+c}$$
Gereğince, gerektiği gibi.
Verilen, $$\int \frac{1}{2x^2+6}$$
Biz biliyoruz ki,$$\int{\frac{1}{a^2+u^2}}dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}(\frac{u}{a})+c$$
Yani,
$$\int \frac{1}{6(\frac{2x^2}{6}+1)}dx $$ $$= \int \frac{1}{6(1+(\frac{x}{\sqrt3})^2)}dx$$ Buraya,$a=1$ ve $u=\frac{x}{\sqrt3}$ ve $du=\frac{dx}{\sqrt3}$,
yani $dx={\sqrt3}du$
Yani istediğimiz cevabımız,
$$\bbox[5px,border:2px solid red]{\frac{\sqrt3}{6}\arctan\frac{x}{\sqrt3}}$$
$$\int \frac{1}{2x^2+6}dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2+3}dx$$
$$x = \sqrt{3}\tan{\theta}\Rightarrow dx = \sqrt{3}\sec^2{\theta}d\theta$$
İkamemizi integral verime geri takıyoruz
$$\frac{\sqrt{3}}{2}\int \frac{\sec^2{\theta}}{3\tan^2{\theta}+3}d\theta = \frac{\sqrt{3}}{6}\int \frac{\sec^2{\theta}}{\sec^2{\theta}}d\theta$$
Bu yüzden artık kaldık
$$\frac{\sqrt3}{6}\theta +c$$
Bu belirsiz bir integral olduğu için cevabımızı x cinsinden yazmalıyız. Değiştirmemize ve teta için yeniden düzenlememize dönüp baktığımızda, son cevabımıza ulaşıyoruz:
$$\frac{\sqrt3}{6}\tan^{-1}(\frac{x}{\sqrt{3}})+c$$
Senin sorunun nihai eşitlikte yatıyor. Eğer$F(x)$ ilkeldir $f(x)$, ve eğer $c\ne0$, sonra ilkel $f(cx)$ olacak $\frac1cF(cx)$. O zamandan beri$\arctan(x)$ ilkeldir $\frac1{1+x^2}$, ilkel $\frac1{1+(x/\sqrt3)^2}$ olacak $\sqrt3\arctan\left(\frac x{\sqrt3}\right)$.
Vekil $x=\sqrt3\,u$ $$ \begin{align} \int\frac{\mathrm{d}x}{2x^2+6} &=\frac{\sqrt3}6\int\frac{\mathrm{d}u}{u^2+1}\\ &=\frac{\sqrt3}6\arctan(u)+C\\ &=\frac{\sqrt3}6\arctan\left(\frac{x}{\sqrt3}\right)+C\\ \end{align} $$