Ext functor ile izomorfizm

Question

Farz et ki $M$ ücretsiz bir rütbe $n$ $R$-modül ve dahası, bir grup varsayalım $G$ Üzerinde davranır $M$ ve $G$-işlem, $R$-aksiyon. Dolayısıyla bir homomorfizmimiz var$\rho: G \rightarrow \text{GL}_n(R)$. Bu da bize bir$G$-işlem $\text{End}_R(M)$ üzerinden $g\cdot \phi = \rho(g) \phi \rho(g)^{-1}$. Şimdi$$\text{Ext}^1_{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z}, \text{End}_R(M)) \cong \text{Ext}^1_{R[G]}(M,M)?$$Setlerin oldukça dolambaçlı bir argümanla birbirine bağlı olduğunu biliyorum, ancak burada saklanan basit bir grup izomorfizmi olup olmadığını merak ediyorum. Ayrıca, daha yüksek Ext gruplarının karşılık gelen izomorfizmleri var mı?

Answer 1

İlk izin $A$ herhangi biri ol $\mathbb{Z}[G]$-modül ve $M$ ve $N$ hiç $R[G]$-modüller.

Doğal bir izomorfizmi var $R$-modüller $$\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}\bigl(A,\operatorname{Hom}_R(M,N)\bigr)) \cong \operatorname{Hom}_{R[G]}\bigl(A\otimes_{\mathbb{Z}}M,N\bigr)$$ (nerede $G$ Üzerinde davranır $\operatorname{Hom}_R(M,N)$ tarafından $(g\cdot\varphi)(m)=g\varphi(g^{-1}m)$ ve üzerinde $A\otimes_{\mathbb{Z}}M$ tarafından $g\cdot(a\otimes m)=(ga)\otimes(gm)$), veren $$\theta\mapsto[a\otimes m\mapsto \theta(a)(m)]$$ ters ile $$\psi\mapsto [a\mapsto[m\mapsto\psi(a\otimes m)]].$$

Şu andan itibaren varsayalım ki $A$ projektif $\mathbb{Z}[G]$-modül ve $M$ yansıtıcıdır $R$-modül. Sonra functor olarak$R[G]$-modüller $R$-modüller, $$\operatorname{Hom}_{R[G]}(A\otimes_{\mathbb{Z}}M, -)\cong \operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}\bigl(A,\operatorname{Hom}_R(M,-)\bigr),$$ hangisi kesin, yani $A\otimes_{\mathbb{Z}}M$ projektif $R[G]$-modül.

Bu functor'ları uygulamak $A$ projektif bir çözüme $P_*$ of $\mathbb{Z}[G]$-modül $\mathbb{Z}$izomorfik zincir kompleksleri alıyoruz $$\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}\bigl(P_*,\operatorname{Hom}_R(M,N)\bigr)) \cong \operatorname{Hom}_{R[G]}\bigl(P_*\otimes_{\mathbb{Z}}M,N\bigr).$$

İlkinin homolojisi $\operatorname{Ext}^*_{\mathbb{Z}[G]}\bigl(\mathbb{Z}, \operatorname{Hom}_R(M,N)\bigr)$, dan beri $P_*\otimes_{\mathbb{Z}}M$ projektif bir çözümdür$M$ olarak $R[G]$-modül) ikincinin homolojisi $\operatorname{Ext}^*_{R[G]}(M,N)$.

Özellikle, eğer $M=N$ bu doğal izomorfizm verir $R$-modüller $$\operatorname{Ext}^n_{\mathbb{Z}[G]}\bigl(\mathbb{Z},\operatorname{End}_R(M)\bigr)\cong \operatorname{Ext}^n_{R[G]}(M,M)$$ her biri için $n$.