Ext grubu $\mathbb{Z}[1/p]$

Question

Hesaplamaya çalışıyorum $\operatorname{Ext}_{\mathbb{Z}}^1(\mathbb{Z}[1/p],\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}_p/\mathbb{Z}$.

Şimdi projektif çözünürlüğe sahibim $$0\rightarrow \bigoplus_{i>1}\mathbb{Z}\xrightarrow{\alpha} \mathbb{Z}\oplus \bigoplus_{i>1}\mathbb{Z}\xrightarrow{\beta} \mathbb{Z}[1/p]\rightarrow 0 .$$ Harita $\alpha$ tarafından verilir $(a_i)_{i>0}\mapsto (-\Sigma a_i, a_ip^i)$ ve $\beta$ tarafından verilir $(b_i)_{i\geq 0}\mapsto \Sigma_{i\geq 0} b_i/p^i$.

Şimdi uygulayın $\operatorname{Hom}(-,\mathbb{Z})$, İkili haritanın çekirdeğini hesaplamak istiyorum $\prod_{i>1}\mathbb{Z}\xleftarrow{\alpha^*} \mathbb{Z}\prod (\prod_{i>1} \mathbb{Z})$ hangi tarafından verilir $(f_0,0,\dots)\mapsto f_0'$ ve $(0,\dots,f_i,\dots )\mapsto (0,\dots,p^if_i,\dots )$, nerede $f_0': \prod_{i>1}\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$, $f_0'((a_i))=f_0(\Sigma a_i)$. Bu çekirdeğin ne olduğunu ve bölümünün nasıl olduğunu görmenin bir yolu var mı?$\prod_{i>1} \mathbb{Z}$ bu çekirdek tarafından $\mathbb{Z}_p/\mathbb{Z}$?

Answer 1

Bunu bunun yerine enjeksiyon çözümleriyle yapalım. yazacağım$A$ için $\Bbb Z[1/p]$. Sonra$$0\to\Bbb Z\to\Bbb Q\to\Bbb Q/\Bbb Z\to0$$ enjekte edici bir çözünürlük verir $\Bbb Z$. Bu nedenle$\text{Ext}^1(A,\Bbb Z)$ çekirdeği $$\text{Hom}(A,\Bbb Q)\to\text{Hom}(A,\Bbb Q/\Bbb Z).$$ Bunu görmek kolay $\text{Hom}(A,\Bbb Q)\cong\Bbb Q$ üzerinden $f\mapsto f(1)$. Unsuru nedir$\text{Hom}(A,\Bbb Q/\Bbb Z)$? Tamamen tanımlanmıştır$f(1/p^k)=a_k+\Bbb Z$ nerede $a_k\in\Bbb Q$ ve $pa_{k+1}-a_k\in\Bbb Z$. Resmi$\text{Hom}(A,\Bbb Q)$ bunlardan oluşur $f$ nerede $f(1/p^k)=a/p^k$ bazı $a\in\Bbb Q$. Bunlardan birini genelden çıkarabiliriz$f$ ve varsayalım ki $a_0=0+\Bbb Z$ ve sonra hala $pa_{k+1}-a_k\in\Bbb Z$. Sonra$a_k=b_k/p^k$ nerede $b_k\in\Bbb Z$ ve $b_k$ modulo olarak tanımlanmıştır $p^k$; Ayrıca$b_{k+1}\equiv b_k \pmod{p^k}$. Böylece$(b_k)$ bir öğeyi temsil eder $b$ of $p$-adic tamsayılar $\Bbb Z_p$.

Hala seçme özgürlüğümüz var $a$; ihtiyacımız var$a+\Bbb Z=f(0)+\Bbb Z$, böylece hala değiştirebiliriz $a$ bir tamsayı ile değişen $b$bir tamsayı ile. Yani çekirdek, izomorfiktir.$\Bbb Z_p/\Bbb Z$.

Eminim tüm bunlar doğrudan ve ters sınırlarla yapılabilir ...