Fermiyonik alan teorisi nedir?
İzin Vermek $\mathscr{H}$ bir Hilbert alanı olun ve $\mathscr{H}^{n}$ ilişkili olmak $n$-bu Hilbert uzayının kıvrımlı tensör çarpımı. Aşağıdaki matematiksel ayrıntıları atlayacağım, ancak yaklaşımım Reed & Simon'ın kitabını takip ediyor . Bir operatör tanımlayabiliriz$A_{n}$üzerinde ortogonal bir projeksiyon olan anti-simetrik operatör olarak adlandırılır. $\mathscr{H}^{n}$ anti-simetrik alt uzayına $A_{n}\mathscr{H}^{n}$. Matematiksel olarak, genellikle fermiyonik Fock uzayı olarak adlandırılan şeyi tanımlayabiliriz $\mathcal{F}_\text{fer}$ tarafından: $$\mathcal{F}_\text{fer} := \bigoplus_{n=0}^{\infty}A_{n}\mathscr{H}^{n}$$ nerede $A_{0}\mathscr{H}^{0} := \mathbb{C}$ ve $A_{1}\mathscr{H}^{1} := \mathscr{H}$. Devam edebilir ve operatörleri tanımlayabiliriz$\mathcal{F}_\text{fer}$Hamiltonian, yaratma ve yok etme operatörleri gibi. Bunu yapma prosedürü temel olarak aşağıdaki gibidir: belirli bir operatörümüz var$T$ açık $\mathscr{H}$ ve onu genişletiyoruz $\mathscr{H}^{n}$ikinci niceleme adı verilen bir prosedür kullanarak ve sonra$T$ açık $\mathcal{F}_\text{per}$ her bir 'bileşen' üzerinde hareket etmesine izin vererek $A_{n}\mathscr{H}^{n}$.
Yukarıdaki senaryo oldukça geneldir ve temelde matematiktir. Ancak 'fermiyonik' ismi her zaman dikkatimi çekti. Bunun, bir anlamda birçok fermiyon sisteminin matematiksel formülasyonu olduğundan emindim ve bu, adı haklı çıkarırdı. Ancak, zaman geçtikçe, yukarıdaki biçimcilik tarafından tanımlanmış gibi görünen çok farklı modeller buldum. Size bazı hızlı gayri resmi örnekler vereyim:
(1) alabiliriz$\mathscr{H} = L^{2}(\mathbb{R}^{d};\mathbb{C})$ karmaşık değerli kare integrallenebilir fonksiyonların alanı $\mathbb{R}^{d}$.
(2) Ayrık bir alandaysak, değiştirebiliriz$\mathbb{R}^{d}$ yukarıdaki örnekte bazı sonlu küme ile $\Lambda$. Bu sonlu küme, sonlu bir kafes veya hatta sonlu bir kafes ve bazı sonlu 'spin' kümesinin kartezyen çarpımı olabilir.
(3) Dirac alanlarını düşünüyorsak, görünen o ki uygun Hilbert$\mathscr{H}$ dır-dir $\mathbb{C}^{2}$, hangi hesaplar satırı döndürür ${1}\choose{0}$ ve ${0}\choose{1}$.
Bu üç örnek (ve muhtemelen diğerleri) birçok farklı kitapta aynı "fermiyonik sistem" veya "fermiyonik alan teorisi" adı altında bulunur.
Soru: Tüm bu üç örneğin sadece tek bir fiziksel sistemin farklı gerçekleşmeleri olup olmadığını bilmiyorum, ama öyle olmadığına inanıyorum . Öyleyse, fermiyonik alan teorisine göre, genellikle bir fermiyonik Fock uzayı düşünülür.$\mathcal{F}_\text{fer}$ bazı ikinci nicelenmiş Hamiltoniyen ile birlikte $H$Bu Fock uzayında hareket ediyor, bu yüzden aslında tek bir tane yerine fermiyonik alan teorilerinin birçok farklı gerçekleşmesi var. Bu doğru mu?
Yanıtlar
Bir fermiyonik alan teorisi, Hilbert uzayı ile karakterize edilmez. Alan operatörleri arasındaki cebirsel ilişkilerle karakterizedir.
Fermiyonik alan teorisi, gözlemlenebilirleri alan operatörlerinden yapılandırılan teoridir. $\psi_n(x)$ Eşit zamanlı komütasyon karşıtı ilişkileri tatmin eden \begin{align} \{\psi_n(x,t),\psi_m(y,t)\} &= 0 \\ \{\psi_n(x,t),\psi_m^\dagger(y,t)\} &= 0\text{ if }x\neq y\text{ or }n\neq m, \end{align} nerede $\{A,B\}\equiv AB+BA$. Pauli dışlama ilkesi bunun bir sonucudur. Soruda açıklanan çeşitli yapılar, bir Hilbert uzayında bu tür operatörleri temsil etmenin farklı yolları olarak kullanılabilir.
Cevabım https://physics.stackexchange.com/a/582216temsiller hakkında bazı genel yorumlar verir. Ana mesaj, Hilbert uzayının bize bir teori hakkında neredeyse hiçbir şey söylemediğidir. Önemli olan gözlemlenebilirlerin örüntüsüdür. Hilbert uzayını temsil etmenin farklı yolları, farklı gözlemlenebilir örüntüler için az ya da çok uygun olabilir, ancak önemli olan gözlemlenebilirlerdir.
Evet, birçok farklı fermiyonik alan teorisi var. Hamiltoniyen$H$bazıları arasında ayrım yapmak için kendisi yeterli olabilir, ancak Hamiltonian sadece bir operatördür. Hamiltonyan ve diğer gözlemlenebilirler arasındaki ilişki daha anlayışlı ve böyle bir ilişki ifade ettiğimizde ima ediliyor.$H$alan operatörleri açısından, çünkü diğer gözlemlenebilirler de alan operatörleri açısından ifade edilir. Gözlemlenebilirlerin birbirleriyle uzay benzeri ayırmada gidip gelmeleri gerektiğine dikkat edin (bu nedensellik ilkelerinden biridir), bu nedenle gözlemlenebilir, zorunlu olarak çift sayıda çalışma karşıtı alan operatörlerinin bir ürününü içerir.
Bu arada, arada bir, "fermion" isminin, spininin garip bir katı olan bir şeyin eşanlamlısı olarak kullanıldığını görüyorum. $\hbar/2$. Göreli kuantum alan teorisinde, spin-istatistik bağlantısı bu dili haklı çıkarır. Ancak daha genel olarak, bu bağlantı geçerli değildir: bir fermiyon (alan operatörleri ters yönde hareket eden bir şey) ille de böyle bir dönüşe sahip değildir veya tam tersi.