Formülleri numaralandırmada sorun

Question

İzin Vermek $P_0, P_1, P_2, ...$ tek bir serbest değişkenle tüm mantıksal formüllerin bir listesi olabilir $n$(sayılabilir bir alfabenin sonlu dizeleri oldukları için sayılabilir). İzin Vermek$Q(n) \iff \lnot P_n(n)$. Herhangi$n$, $Q$ değil $P_n$ çünkü aynı fikirde değiller $n$. Fakat$Q$mantıksal bir formüldür, bu yüzden numaralandırmada olması gerekir ...

Neler oluyor?

Answer 1

Bu, aşağıdakilere inecektir: "mantıksal formül" ün kesin tanımı nedir? Mesele şu ki,$Q$ tanımladığınız kesinlikle "anlamlı", bir anlamda daha karmaşıktır. $P_i$s. Kesin bir "mantıksal formül" nosyonunu ve bunun bir numaralandırmasını, örneğin "aritmetik dilindeki birinci dereceden formül", söz konusu semboller üzerinde makul bir sıralama yoluyla sözlüksel olarak sıralı hale getirdiğimizde, karşılık gelen$Q$ bu özel anlamda bir formülle ifade edilemeyecektir.

Bunun nasıl sonuçlandığına dair somut bir örnek için, örneğin Tarski'nin tanımlanamazlık teoremine bakın . Ve bunu benzer "ifade paradokslarıyla" karşılaştırın: Berry'nin paradoksu, Richard'ın paradoksu ve Grelling'in paradoksu.

Answer 2

Geçerli formülleri temsil eden dizelerle formüllerin kendilerini ayırt etmek önemlidir.

Aşağıdakilere bakın:

• Richard'ın paradoksu (paradoks ve bir açıklama)
• Tarski'nin tanımlanamazlık teoremi (tutarlı bir mantıksal sistemde bir formül dizesinin gerçeğini kodlamanın bir yolu yoktur)
• Gödel'in eksiklik teoremi (kanıtlanabilirlik kodlanabilir, ancak bu gerçeklerden farklıdır)