Futbol maçında minimum puan.

Question

Sekiz futbol takımı bir futbol turnuvasına katılır, böylece her takım diğer takımlarla tam olarak bir kez oynar. Bir takım diğerine karşı kazanırsa, kazanan takım iki puan alır ve kaybeden takım sıfır puan alır. İki takım berabere kalırsa, her iki takım da birer puan alır.

Turnuvadan sonra takımlar, her takımın kazandığı toplam puana göre sıralanır. İlk dört takım arasında yer almasını sağlamak için bir takımın kazanması gereken minimum puan miktarı nedir?

Diğer takımın girmesi gereken puan sayısını en üst düzeye çıkarmak için tepedeki dört takımın aynı puana sahip olması gerektiğini düşünüyorum, ancak emin değilim.

Answer 1

Sekiz takım turlu bir turnuva ile, $28$ oyunlar toplamda oynanacaktır (Toplam kenar sayısı $K_8$).

Her oyun sonuçtan bağımsız olarak iki puan üreteceğinden,$56$toplam puan sekiz takım arasında paylaşılacaktır. İyi tanımlanmış bir bağ kırma sisteminin yokluğunda, bağların bir garanti olarak kabul edilmediğini varsayıyoruz. Bir takımın puan toplamını , beşinci sıradaki takımın bu kadar puana sahip olamayacağı durumda, dördüncü sırayı " garantilemek " olarak tanımlıyoruz .

\begin{align} Team && Points && && Team && Points\\ A && 10 && && A && 11\\ B && 10 && && B && 11\\ C && 10 && && C && 11\\ D && 10 && && D && 11\\ --- && --- && && --- && ---\\ E && 10 && && E && 11\\ F && 2 && && F && 1\\ G && 2 && && G && 0\\ H && 2 && && H && 0\\ \end{align}

On puan yeterli değildir ve on bir puan yeterli olmalıdır. Ekstrem bir durumda, ekipler$A,B,C,D$ ve $E$ Hepsi birbirini çeker ve ona karşı kazanır $F,G,$ ve $H$(birbirlerini de çizen), on puanla beşinci sıradaki bir takım verir. On bir puana sahip beşinci bir takımımız varsa o zaman takımlar$A,B,C,D,$ ve $E$ en azından paylaş $55$ puanlar, takımlar $F, G,$ ve $H$en fazla bir noktada paylaşın. Ancak,$F, G,$ ve $H$birbirleriyle oynamak ve en az altı noktayı paylaşmak zorunda, bu bir çelişki. Bu nedenle,$11$ Puanlar minimumda dördüncü sırayı garanti eder. $\blacksquare$