Göreli asal $0$
Bu soru daha geneldir, ancak onu motive etmek için bir teorem kullanacağım.
Bir rasyonel olduğunu kanıtlamak istediğimi varsayalım. $r$ öyle ki $r^3 + r + 1 = 0$. İlk adım, böyle bir şey olduğunu varsaymaktır.$r$, yani $r = \frac{p}{q}$ nerede $p,q \in \mathbb{Z}$, $q \neq 0$ nerede $p,q$ nispeten asaldır.
İşte sorum şu. Eğer bu$r$ -di $0$ (öyle değil ve bunu göz ardı edebilirim, ancak tam bir titizlikle bunu gerçekten ekarte etmem gerekip gerekmediğiyle ilgileniyorum) $r = \frac{0}{q}$. Fakat$0 \cdot 0 = 0$ ve $0 \cdot q = 0$yani ikisi de $p$ ve $q$ ortak bir faktöre sahip olmak $0$.
Fakat $\gcd(p,q) = 1$hala o zamandan beri $1 > 0$ve bunun önemi yok gibi görünüyor $q$ negatiftir.
Buna dayanarak, benim sonucum şu ki, eğer $p = 0$ve bunu düşünmeme gerek yok. Bu doğru mu? "Varsayalım" yazsaydım$p$ ve $q$ ortak faktörleri yoktur, "Bu zaten biraz belirsiz çünkü kesinlikle ortak bir faktöre sahipler $1$, ancak daha resmi olan "nispeten asal" varsayım uygun görünüyor.
Yanıtlar
Değiştirirsek "$p,q$ nispeten "ile" asaldır$\frac pq$ "en düşük terimde" "nasıl düşündüğünüzü değiştirir mi?
Eğer $q > 1$ sonra $\frac 0q = \frac 01$ yani $\frac 0q$ en düşük terimlerle değil.
Notasyonunu kullanırsak $\gcd$ ve "göreceli asal" argüman aynı olsa da.
Gibi $0\cdot q = 0$ bizde $q$ bölen $0$ ve bu yüzden $\gcd(0, q) = q$ ve eğer $q > 1$ sonra $\gcd(0,q) = q$ ve bu nedenle
Eğer $q>1$ sonra $0$ ve $q$ görece asal değildir.
Fakat $\gcd(0,1) = 1$ yani
$0$ ve $1$ nispeten asaldır.
Ve devam edebiliriz.
====
Ama analizinde kafan karıştı ve bir kıvrım yaptın.
Diyorsun:
Ama 0⋅0 = 0 ve 0⋅q = 0, yani hem p hem de q ortak çarpanı 0'dır.
Pek değil. sahibiz$0\cdot q =0$. Sen do not var$0\cdot something = q$. Yani$0$olduğu DEĞİL bir faktör$q$. Yani$0$kendisi dışında hiçbir şeyin faktörü değildir .
Sahip olduğun ve söylemen gereken şey çünkü$0\cdot q = 0$ ve $1\cdot q = q$ öyle $q$ (ve yok $0$) bu ortak bir faktördür $0$ ve $q$.
Aslında her şey bir faktördür$0$ yani $\gcd(0,anything) = |anything|$. (Unutmayın$\gcd(a,b) = \gcd(a,-b) = \gcd(-a, b)=\gcd(-a, -b)$ çünkü ikisini de bölen bir şey varsa $a$ ve $b$ o da böler $-a$ ve $-b$.)
Ve $0$ ve $q$ nispeten asal araçlardır $\gcd(0, q) = 1$. Fakat$\gcd(0, q) = |q|$ sahip olmak $0$ ve $q$ nispeten asal olmalıyız $q = \pm 1$.
....
Oh, işaret etmeliyim, Prasun Bis beni düzelttiğinden, tanımladığımızda $\gcd(a,b)$ve "en büyük" ortak bölen, çoğu metin mutlaka büyüklük olarak "en büyük" değil, bölünebilirlikte "en büyük" anlamına gelir. Biz tanımlıyoruz$a\preceq b$ demek için $a$ böler $b$ve bu kısmi bir emirdir (toplam değil, herhangi iki öğe karşılaştırılmaz). Bu sırayı kullanarak "en büyük" ortak bölen, diğer tüm ortak bölenlerin böldüğü ortak bölendir.
Çoğunlukla tanım sanki aynıdır $a,b$ ikisi de olumlu $a\preceq b \implies a \le b$. Ve eğer$a,b$ pozitif tamsayılar, büyüklükte en büyük ortak bölen ve bölünebilirlikte en büyük ortak bölen aynıdır.
Ama bu durumda her şey bölündüğü için $0$her zaman sahibiz $q\preceq 0$ ve $\max_{\preceq} \mathbb Z = 0$ ve $0$tüm tam sayılardan daha büyük bölünebilirliktir. Yani her şeye rağmen$q$ ortak bölenlerdir $0$ ve $0$, $\gcd(0,0) = 0$.