Green'in Termal Alan Teorisindeki işlevi

Question

Arkaplan bilgisi

İzin Vermek $\beta$ ters sıcaklık 1 / T ve $H$ Hamiltonian olun.

$H = H_0 + H_I$, nerede $H_0$ özgür Hamiltoniyen.

Ayrıca $S(\beta) = e^{\beta H_0}e^{-\beta H}$

İzin Vermek $\phi_H(\tau)$ Heisenberg resminde bir alan olmak ve $\phi$ Schrodinger resminde ve $\phi_I(\tau)$ etkileşim resminde.

$$\phi_H(\tau) = e^{\tau H}\phi e^{-\tau H} $$

Sonra, $\phi_H(\tau) = e^{\tau H}e^{-\tau H_0}\phi_I e^{\tau H_0} e^{-\tau H} = S^{-1}(\tau)\phi_I(\tau)S(\tau)$

Şimdi asıl soruya geleyim:

Ashok Das'ın (Rochester Üniversitesi) "Sonlu Sıcaklık Alan Teorisi" kitabında yazar, Green'in işlevi için aşağıdaki türetmeyi ortaya koymaktadır. Burada, Tr izleme ve Pr, zaman sıralaması operatörüdür.$0 \le \tau \le \beta$

$$G_{\beta}(\tau, \tau') = \frac{Tr e^{-\beta H} Pr \left [ S^{-1}(\tau)\phi_I(\tau) S(\tau)S^{-1}(\tau')\phi_I(\tau')^{\dagger}S(\tau') \right ]}{Tr e^{-\beta H}}\tag{1}$$

$$= \frac{Tr e^{-\beta H_0}S(\beta) Pr \left [ S^{-1}(\tau)\phi_I(\tau) S(\tau)S^{-1}(\tau')\phi_I(\tau')^{\dagger}S(\tau')\right ] }{Tr e^{-\beta H}}\tag{2}$$

$$= \frac{Tr e^{-\beta H_0}Pr\left [ S(\beta) S^{-1}(\tau)\phi_I(\tau) S(\tau)S^{-1}(\tau')\phi_I(\tau')^{\dagger}S(\tau')\right ]}{Tr e^{-\beta H}}\tag{3}$$

$$= \frac{Tr e^{-\beta H_0}Pr \left [ \phi_I(\tau) \phi_I(\tau')S(\beta)\right ] }{Tr e^{-\beta H)}}\tag{4}$$

Şimdi denklem (3) 'ten son denkleme (4) nasıl varır? Bütün bunlar nasıl$S(\tau)$ ve $S(\tau')$ terimler kaybolur mu yoksa iptal mi olur?

Answer 1

S matrisinin özelliği vardır $S(\tau,\tau)=1$, $S(\tau,\tau')=S(\tau,\tau'')S(\tau'',\tau')$, ve $S^{-1}(\tau,\tau')=S(\tau',\tau)$(Hayali zamanda S matrisinin üniter olmadığına dikkat edin!). OP'de kullanılan gösterimde, argüman olarak sadece zaman farkları belirtilmiştir, yani,$S(\tau)\equiv S(\tau_,0)$, Dolayısıyla,
$$\frac{Tr e^{-\beta H_0}Pr\left [ S(\beta) S^{-1}(\tau)\phi_I(\tau) S(\tau)S^{-1}(\tau')\phi_I(\tau')^{\dagger}S(\tau')\right ]}{Tr e^{-\beta H}}=\frac{Tr e^{-\beta H_0}Pr\left [ S(\beta,\tau)\phi_I(\tau) S(\tau,\tau')\phi_I(\tau')^{\dagger}S(\tau')\right ]}{Tr e^{-\beta H}}=\frac{Tr e^{-\beta H_0}Pr\left [ S(\beta)\phi_I(\tau)\phi_I(\tau')^{\dagger}\right ]}{Tr e^{-\beta H}}.$$ S matrislerinin doğru sırada oturduğuna dikkat edin, yani biri $\tau=0$, şuraya geçer: $\tau'$, sonra $\tau$ve sonunda $\beta$. Bu sıra, kısa el ile son ifade ile belirtilir, burada zaman sıralaması "kural", alan eklemelerini yine de "doğru" olarak düzenler. Bu nedenle, son ifade yalnızca kompakt bir gösterim olduğundan ve perdelerin arkasında, sondan bir önceki ifadede açıkça belirtildiği gibi, S matrisleri ve alan operatörleri doğru zamanlarda eklenmiştir.