Hilbert uzay tensör çarpımının boyutu

Question

İzin Vermek $H_1, H_2$ Hilbert uzayları olun ve onların Hilbert uzay tensör ürününü düşünün $$H_1 \hat{\otimes} H_2$$ cebirsel tensör çarpımının tamamlanması $H_1 \otimes H_2$ üzerindeki benzersiz iç ürüne göre $H_1 \otimes H_2$ doyurucu $$\langle x \otimes y, x' \otimes y'\rangle = \langle x , x' \rangle \langle y, y'\rangle$$

Eğer $E_1$ için ortonormal bir temeldir $H_1$ ve $E_2$ için ortonormal bir temeldir $H_2$Bunu kanıtladım $$E_1 \otimes E_2:= \{x \otimes y: x \in E_1, y\in E_2\}$$ için ortonormal bir temeldir $H_1 \hat{\otimes} H_2$. Bundan çıkarım yapmak istiyorum$$\dim(H_1 \hat{\otimes} H_2 ) = \dim (H_1) \dim (H_2)$$(kardinal sayıların çarpımı). Görüyorum ki haritanın$$E_1 \times E_2 \to E_1 \otimes E_2: (x,y) \mapsto x \otimes y$$ enjekte edici, ancak bunun neden geçerli olduğunu anlayamıyorum: $$x \otimes y = x' \otimes y' \implies x= x', y = y'$$ genel saf tensörler için doğru olmamalı, ama belki de dikliğe sahip olduğumuz için daha fazlasını söyleyebiliriz?

Answer 1

İpucu: Eğer $X,Y$ vektör uzaylarıdır ve $\{x_1,\dots,x_n\}\subset X$ doğrusal olarak bağımsızdır, bu durumda $\sum_{i=1}^nx_i\otimes y_i=0$ ima ediyor ki $y_i=0$ hepsi için $i$.

Senin durumunda: varsayalım ki $x\neq x'$ veya $y\neq y'$. WLOG varsayalım ki$x\neq x'$. Eğer$x\otimes y=x'\otimes y'$, sonra $x\otimes y + x'\otimes(-y')=0$. Dan beri$\{x,x'\}$ doğrusal olarak bağımsızdır, bu verim $y=-y'=0$, yani $y=y'=0$bir çelişki, çünkü $y,y'$ birim vektörlerdir.

Answer 2

Varsaymak $(x,y)\ne (x',y')$ ve iki doğrusal bir harita düşünün $f:H_1\times H_2\to\Bbb C$ bazlarda tanımlanmış $$f(e_1,e_2)=\left\{\matrix{1&\text{ if }e_1=x\text{ and }e_2= y\\ 0&\text{ otherwise.}}\right.$$ Bu faktörler aracılığıyla $H_1\otimes H_2$ böylece ayırt edici $x\otimes y$ ve $x'\otimes y'$.

Answer 3

Buna nasıl yaklaşmanız gerektiği, nihayetinde (cebirsel) tensör ürünü tanımınıza bağlıdır.

Bir yaklaşım şöyledir: şunu not etmek yeterlidir: $x \otimes y = x' \otimes y'$ sadece bir skaler varsa $\alpha$ hangisi için $\alpha x = x'$ ve $y = \alpha y'$. Eğer$x',x$aynı birimdik tabanın parçasıysa, ya eşittirler ya da birbirlerinin katları olamazlar. Öyleyse, haritanız gerçekten enjekte edici.