İdeal $\mathbb{N}$ belirli mülk ile

Question

İzin Vermek $\mathcal{I}$ ideal olmak $\mathbb{N}$tüm sonlu kümeleri ve en az bir sonsuz kümesi içeren. Bir filtre tanımlayın

$\mathcal{F}:=\{D\subseteq\mathbb{N}\mid \forall A\in\mathcal{I},A\cap D^{c}\text{ is finite, or equivalently} A\subseteq^{*}D\}$.

$\mathcal{F}$ ortak sonlu filtre içerir ve öyle görünüyor ki $\mathcal{I}$ o zaman asal $\mathcal{F}$başka hiçbir şey içermiyor. Sohbet tutuyor mu? Diğer bir deyişle, eğer karşılık gelen filtre eş-sonlu filtre ise bir idealin P özelliğine sahip olduğunu söyleyelim. P asal olmakla aynı mı? Yoksa P'nin basit bir karakterizasyonu var mı?

Birisi bunun istemekle aynı olduğunu söyledi $\mathcal{E}\subseteq(\mathcal{P}_{coinf}(\mathbb{N}),\subseteq^{*})$ altında sınırsız olan $\subseteq^{*}$ve asal olmayan uygun bir ideal üretir. Bu poset hakkında hiçbir şey bilmediğimi fark ettim. Eş final türü nedir? Gibi diğer konumlarla ilişkisi nedir?$(\mathbb{N}^{\mathbb{N}},<^{*})$?

Arka plan: Bir topoloji tanımlayabilir miyiz diye düşünüyordum $\mathbb{N}\cup\{\infty\}$ belirli dizilerin yakınsamasını gerektirerek $\infty$, daha fazla (ve hangisi) dizi olacak mı? $\infty$beklediğimizden. Ayrıca bu soruya bakın .

Answer 1

Verilen $P_1,P_2$ temel olmayan asal idealler $\mathbb{N}$ ile $P_1\neq P_2$, İzin Vermek $\mathcal{I}= P_1\cap P_2$. Sonra$\mathcal{I}$ tüm sonlu kümeleri içeren bir idealdir, ancak asal değildir (bazılarının olması gerektiğinden $A\subseteq \mathbb{N}$ ile $A\notin P_1, A^c\notin P_2$).

ancak $\mathcal{I}$ özelliği sağlar P: Herhangi bir $D$ eş-sonsuz değil, bölümleyebiliriz $D^c$ içine $4$ sonsuz parçalar: $D_{11,}D_{12},D_{21},D_{22}$. Sonra$D_{i1}\cup D_{i2}\in P_1$ bazı $i$ ve $D_{1j}\cup D_{2j}\in P_2$ bazı $j$. Böylece$D_{ij}\in \mathcal{I}$ ve $D_{ij}\cap D^c=D_{ij}$ sonsuzdur.

Answer 2

İzin Vermek $X$ azami neredeyse ayrık bir alt kümeler ailesi olmak $\mathbb{N}$ve izin ver $\mathcal{I}$ tarafından üretilen ideal olmak $X$. Sonra$\mathcal{F}$ eş-sonlu filtre olacak: eğer $D\in\mathcal{F}$ sonra $D^c$ neredeyse her unsurdan kopuktur $X$ve bu nedenle maksimalliği ile sonlu olmalıdır $X$. Ancak,$\mathcal{I}$asal değil. Örneğin, iki ayrık sayılabilecek şekilde sonsuz alt aile alırsanız$Y,Z\subset X$, daha sonra basit bir köşegenleştirme argümanıyla $A\subset\mathbb{N}$ neredeyse her unsurunu içeren $Y$ ve neredeyse her unsurdan kopuktur $Z$. Sonra$A\not\in\mathcal{I}$ çünkü her unsuru $\mathcal{I}$ sadece sonlu çok sayıda elemanla sonsuz kesişme vardır. $X$, ve $A^c\not\in\mathcal{I}$ aynı sebepten.