İlişkisel değilse ne olur?
İkili bir işlemi düşünün $*$ bir setten hareket etmek $X$kendisine. İlişkili işlemlerle çalışmak kullanışlı ve standarttır, öyle ki$(a*b)*c = a*(b*c)$. İlişkilendirici olmayan operasyonlar ne olacak?
Bu tür ikili işlemlerin tüm farklı olası türlerini karakterize etmenin herhangi bir yolu var mı? $*$hangileri ilişkisel değildir? Örneğin. Bunu söyleyebilir miyiz$*$ ilişkisel değildir, bu durumda bunun yerine setimizdeki diğer ek işlemlere bağlı olarak diğer olası özelliklerden birini karşılaması gerekir. $X$?
Setimize bazı ek yapılar da eklersek $X$ böylece öğeleri toplayıp skalarlarla çarpabiliriz, iki öğesinin miktarını ölçmek standarttır. $X$ birbirleriyle gidip gelmek $*$ komütatörü hesaplayarak $[a,b] = a*b - b*a$. Bir 'çağrışımsal komütatör' düşünmek hiç yararlı mı?$[abc] = (a*b)*c - a*(b*c)$, belirli bir ilişkisel olmayan $*$?
Son olarak, Lie cebirlerinden biliyorum ki eğer $*$ anticommutes o zaman bir Jacobi kimliği düşünmek doğal olabilir
$(a*b)*c = a*(b*c) - b*(a*c)$
Farklı ortamlarda çağrışımın başka doğal uzantıları var mı? Lie cebirleri neden bu Jacobi kimliğini kullanıyor, örneğin değil
$(a*b)*c = a*(b*c) + k b*(a*c)$
K bir skaler nerede?
Yanıtlar
"İlişkilendirici olmayan operasyonlar ne olacak?" Birçok alanda ilişkisel olmayan cebir yapılarıyla karşılaşıyoruz, örneğin operad teorisinde, bölme kümelerinin homolojisinde, deformasyon teorisinde, Lie gruplarında geometrik yapılar, fizikte renormalizasyon teorisi ve daha fazlası.
Belli bir anlamda, başka neler olabileceği sorunuzu yanıtlayabilir. Bir yol, simetrik grubun değişmez alt uzaylarının eylemi ile tanımlanan tüm ilişkisel olmayan cebirleri sınıflandırmaktır.$S_3$dikkate alınan yasaların ilişkilendiricisi hakkında, örneğin buraya bakınız . Ama elbette bunların hepsi olasılık değil.
Lie cebirleri ile ilgili ilişkisiz bir cebir yapısının iyi bilinen bir örneği, Lie cebirleri (sol-simetrik cebirler olarak da adlandırılır). Kimliği tatmin ediyorlar$$ (x,y,z)=(y,x,z) $$ hepsi için $x,y,z\in A$, nerede $(x,y,z)$ilişkilendiren. Özellikle, ilişkisel cebirler her iki tarafın da sıfır olduğu önemsiz bir örnektir, yani$0=0$. Sonra komütatör$$ [x,y]=xy-yx $$bir Lie parantezidir, bkz. İlişkiler ve komütatörler arasında bir ilişki var mı?
Pre-Lie cebiri cebir, geometri ve fizikte ortaya çıkar, buradaki anket makaleme bakın . Kristalografik gruplar, afinite düz manifoldlarının (Milnor) temel grupları, Gerstenhaber deformasyon teorisi, Rota-Bater operatörleri ve Yang-Baxter denklemleri için önemli bir rol oynarlar.
İlişkilendirici olmayan tüm farklı olası işlem türlerini karakterize etmenin bir yolu var mı?
Bence bu, cevap veremeyecek kadar geniş ve öznel. Tam olarak operasyon "tipi" nedir? Zaten ikili işlemlerden bahsettiğinizi varsayıyorum, bu nedenle muhtemelen bir "tür" işlem, ilişkisel kimlik gibi belirli kimlikleri karşılayan bir işlemdir. Bazı özel örnekler akla geliyor:
- Lie algberas için Jacobi kimliği,
- Jordan cebirleri için Jordan kimliği,
- Moufang döngüler için tanımlar,
- Raflar ve quandles için kendi kendini dağıtma yasaları,
ve kesinlikle diğerleri (ilişkisel olmayan cebir konusunda uzman değilim). Yukarıdaki kimliklerin çoğu üç değişkenli kimlikler değil, yine de. Genel olarak, ilginç cebirler ve bunların kimlikleri rastgele seçilmemiştir, bunun yerine özellikleri genelleştirilmiş bazı kanonik örneklerden gelir. Cebirlerin belirli yapıları temsil etmesi amaçlanmıştır ve kimlikler bunu sağlar. Örneğin, Lie cebberleri Lie gruplarını doğrusallaştırır ve benzer şekilde Jordan cebirleri yansıtmalı uzayları doğrusallaştırır, Moufang kimlikleri oktonyonların alternatifliğini genelleştirir, raflar ve kuandler, grupların eşlenikle, vb.
Nihayetinde, pek çok üretici üzerinde serbest magmadan (veya toplamaya izin verirseniz, serbest ilişkisel olmayan cebire) seçebileceğiniz olası her "kelime" kümesi için bir işlem "türü" vardır. (Bunda fazlalık olacak - farklı kelime grupları aynı sınıf cebirleri verebilir.)
Eğer ∗ ilişkisel değilse, bunun yerine setimizdeki diğer ek işlemlere bağlı olarak diğer olası özelliklerden birini karşılaması gerektiğini söyleyebilir miyiz? $X$?
Muhtemelen değil. Örneğin, bazı üretici kümelerdeki serbest ilişkisel olmayan cebir, herhangi bir "özelliğe" (yani kimliklere) sahip olmama adayı olarak beni şaşırtıyor.
Belirli bir çağrışımsal olmayan 'için' çağrışımlı bir komütatör 'düşünmek hiç yararlı olur mu?
Evet. Associator oktonyonu ait automorphisms hakkında cebiri ve muhakeme oktonyon ifadeleri basitleştirerek ve sınıflandırma gibi pek çok şey için sırayla yararlıdır (varlık birleştirici yolunu yarılamış gibi) alternatif bir cebir vardır kanıtlayan (verimli) örneğin yararlıdır$\mathbb{O}$. Octonion birleştirici ayrıca istisnai üçlü 8D çapraz çarpımına yol açar .
Genel olarak ilişkisel olmayan cebirlerde muhtemelen onunla yapabileceğiniz daha çok şey var ama ben bilemem.
Lie cebirleri neden bu Jacobi kimliğini kullanıyor?
Lie cebirlerinin nereden geldiğini düşünün. Lie grubu ile başlayın$G$. Teğet uzay$\mathfrak{g}$ tek parametreli alt grupların gösterebileceği tüm yönleri size söyler. Ekleme işlemi $\mathfrak{g}$ grup işlemine karşılık gelir $G$. Nitekim üstel$\exp:\mathfrak{g}\to G$ yaklaşık olarak doğrusaldır. $0$ikinci dereceden hata terimi ile. Gibi$G$ konjugasyon yoluyla kendi başına hareket eder (ve bir grupta konjugasyonu göstermek için örnek üstüne örnek listeleyen birçok kaynak vardır), bu yüzden de etki eder $\mathfrak{g}$konjugasyon ile. Tanımlamak$\mathrm{Ad}_A(X)=AYA^{-1}$ için $A\in G,Y\in\mathfrak{g}$. Bunu şu şekilde farklılaştırırsak$A=I$ teğet vektör ile $X$ anlıyoruz $\mathrm{ad}_X(Y)=XY-YX=[X,Y]$, "komütatör braketi." Ek eylemin bu işlemi koruduğuna dikkat edin ve eğer farklılaşırsak$\mathrm{Ad}_A[Y,Z]=[\mathrm{Ad}_AY,\mathrm{Ad}_AZ]$ -de $A=I$ yine ürün kuralı ile kimliği alıyoruz $\mathrm{ad}_X[Y,Z]=[\mathrm{ad}_XY,Z]+[Y,\mathrm{ad}_XZ]$diyor ki $\mathrm{ad}_X$bir "türetmedir" (yani "çarpım kuralını" bir türev gibi karşılar, ancak çarpma yerine komütatör paranteziyle). Bu kimlik, Ürdün kimliği olarak bildiğiniz döngüsel olarak daha simetrik biçime yeniden düzenlenebilir.
Yukarıda listelediğim diğer tüm kimliklerin nereden geldiklerine dair benzer hikayeleri var. Jordan kimliği, Hermit matrislerinin uzaylarının cebirsel bir incelemesinden gelir (bunlar izdüşümsel uzaylardaki noktalara karşılık gelen izdüşüm operatörlerinin aralığıdır). Görünüşe göre Ürdün kimliğinin Riemann simetrik uzayının tersine dönme simetrisi açısından da bir yorumu var, ama bu hikayenin nasıl gittiğini bilmiyorum. Moufang kimliği, gerçek normlu bölme cebirlerinin araştırılmasından gelir, bu da oktonyonlara yol açar, bu da alternatif kimliklere yol açar ve sonra kontrol edilebilecek en basit dört terimli kimlikler, bir terimin tekrarlandığı yerdir. Raflar ve quandles için kendi kendine dağıtım yasası, konjugasyonun bir gruptaki bir otomorfizm olduğu gerçeğinden gelir.