İlk temel form

Question

Wolfram MathWorld bir paraboloid ve diferansiyel parametrelerini şu şekilde tanımlar:

\begin{align*} P&=\left(\frac{\partial x}{du}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{du}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{du}\right)^2= \\ &=1+\frac{1}{4u} \\ Q&=\frac{\partial x}{du}\frac{\partial x}{dv}+\frac{\partial y}{du}\frac{\partial y}{dv}+\frac{\partial z}{du}\frac{\partial z}{dv}= \\ &=\frac{1}{2\sqrt{u}}(\cos v - \sin v) \\ R&=\left(\frac{\partial x}{dv}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{dv}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{dv}\right)^2= \\ &=u \\ \end{align*}

Şimdi, bu parametreler katsayılara karşılık gelirse $E$, $F$ ve $G$burada anlatılan , ifadesine nasıl geldiklerini anlamıyorum$Q$.

Answer 1

Diğer yorumlar / cevaplar rağmen, bu miktarlar vardır zamanki ilk temel formu. Wiki bağlantısının şunu tanımladığını unutmayın:$g_{ij} = X_i\cdot X_j$. Bunlar olağan$E,F,G$ve bağımsız değişkenlere göre parametreleştirmenin türevlerinin iç çarpımlarıdır. Sizin durumunuzda ilk parametre$u$ ve ikinci parametre $v$ve aslında sahibiz \begin{align*} P&=X_u\cdot X_u=E,\\ Q&=X_u\cdot X_v=F, \quad\text{and} \\ R&=X_v\cdot X_v=G. \end{align*} Wolfram'ın neden farklı harfler kullandığından emin değilim.

Daha fazla referans istiyorsanız, diferansiyel geometri metnime bakın .

Answer 2

İlk temel biçim, ortam uzayında kapsanan yüzeyi düşündüğünüzde, yüzeyin bir noktasındaki teğet uzayın iç çarpımıdır. $\mathbb{R}^3$. Paraboloidiniz varsa$z=b(x^2+y^2)$teğet uzayını oluşturan yüzeyin teğet vektörleri

$v=[1,0, 2bx]$

ve

$w=[0,1,2by]$

Bu noktada ilk temel formun katsayıları aşağıdaki gibi hesaplanabilir.

$E=\langle v, v \rangle=1+4b^2x^2$

$F=4b^2xy $

$G=1+4b^2y^2$

Paraboloid hakkındaki bağlantınızda, sanırım argüman paraboloid üzerindeki jeodeziktir.