İntegral çekirdek $e^{itH_{0}}$

Question

Kuantum mekaniğinde, tek parçacıklı bir sistemin zamanla evrimleşmiş durumu şu şekilde verilir: $\psi(x,t) = e^{-itH_{0}}\psi_{0}(x)$, nerede $H_{0} = \frac{1}{2}\Delta$ özgür Hamiltoniyen $t\in \mathbb{R}$ ve $\Delta$olağan Laplace operatörüdür. İkisinin de olduğu bir yer gördüm$e^{itH_{0}}$ ve $e^{tH_{0}}$integral çekirdeklere sahiptir, yani \ begin {eqnarray} (e ^ {- itH_ {0}} \ varphi) (x) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {d}} K_ {0} (x, y, t ) \ varphi_ {0} (y) dy \ tag {1} \ label {1} ​​\ end {eqnarray} ve \ begin {eqnarray} (e ^ {- tH_ {0}} \ varphi) (x) = \ int_ {\ mathbb {R} ^ {d}} \ tilde {K} _ {0} (x, y, t) \ varphi_ {0} (y) dy \ tag {2} \ label {2} \ end {eqnarray } nerede$K_{0}(x,y,t) = (2\pi i t)^{-d/2}e^{i\frac{(x-y)^{2}}{2t}}$ ve $\tilde{K}(x,y,t) = (2\pi t)^{-d/2}e^{\frac{(x-y)^{2}}{2t}}$.

Soru: (\ ref {1}) ve (\ ref {2}) nasıl ispatlayabilirim?

Answer 1

Temelde bir PDE'miz var $\partial_t \varphi(t,\vec{x}) = \alpha \, \Delta\varphi(t,\vec{x}).$

Fourier dönüşümünü $\vec{x}$ argüman ODE ile sonuçlanır $\partial_t \hat{\varphi}(t,\vec{k}) = -\alpha \, |\vec{k}|^2 \, \hat{\varphi}(t,\vec{k})$ çözüm ile $$ \hat{\varphi}(t,\vec{k}) = e^{-\alpha \, |\vec{k}|^2 t} \hat{\varphi}(0,\vec{k}). $$

Sağ taraf, iki işlevin bir ürünüdür. $\vec{k}$ ve bu nedenle bir evrişimin Fourier dönüşümüdür: $$ \varphi(t,\vec{x}) = \left(u(t,\cdot)*\varphi(0,\cdot)\right)(\vec{x}), $$ nerede $\hat{u}(t,\vec{k}) = e^{-\alpha \, |\vec{k}|^2 t}.$

Eğer $\operatorname{Re}\alpha \geq 0$ sonra $\hat{u}$ dönüştürülebilir ve sonuçta $$ u(t,\vec{x}) = (2\pi\alpha t)^{-d/2}e^{-\frac{|\vec{x}|^{2}}{2\alpha t}}. $$

Böylece, $$ \varphi(t,\vec{x}) = \int_{\mathbb{R}^d} (2\pi\alpha t)^{-d/2}e^{-\frac{|\vec{x}-\vec{y}|^{2}}{2\alpha t}} \, \varphi(0,\vec{y}) \, d^dy. $$