İnterpolasyon Eşitsizliği (Sobolev yerleştirme)

Question

İzin Vermek $\Omega$ olmak $C^1$ herhangi biri için $\epsilon>0, 0<|\alpha|<k$var bir $C_\epsilon$ öyle ki $$||D^\alpha u||_{L^p}\leq \epsilon||u||_{W^{k,p}}+C_\epsilon||u||_{L^p}$$ hepsi için $u\in W^{k,p}$.

Bunu çelişkilerle kanıtlamaya çalışıyordum.

$\forall n \in \mathbb{N}, \exists u_n \in W^{k,p}$ öyle ki $||D^\alpha u_n||_{L^p}>\epsilon||u_n||_{W^{k,p}}+n||u_n||_{L^p}$.

Sobolev kompaktlığı yerleştirmeyi kullanma konusunda bana bir ipucu verebilir mi?

Kullanmaya çalışıyordum $W^{k,p}\subset \subset L^p$. Bununla birlikte, dizinin sınırlandırıldığını nasıl göstereceğim$sup$.

Normalleşmeyi alarak, $v_n=\frac{u_n}{||u_n||_{W^{k,p}}}$yapardık $$\frac{1}{||u_n||_{W^{k,p}}}||D^\alpha u_n||_{L^p}>\epsilon+\frac{n}{||u_n||_{W^{k,p}}}||u_n||_{L^p}$$

Answer 1

Görünüşe göre yerleştirme $W^{k,p} \subset \subset L^p$kompakt olmak yeterince iyi değil. Biraz daha güçlü bir şeye ihtiyacımız var:$0<|\alpha| < k$ gömme $W^{k,p} \subset \subset W^{|\alpha|,p}$ aynı zamanda kompakttır.

Sahip olduğunuzda (normalleşmenin ardından) $\|u_n\|_{W^{k,p}} = 1$ hepsi için $n$, sekans $u_n$ sınırlanmış $W^{k,p}$ (Çünkü $\sup_n \|u_n\|_{W^{k,p}} =1$ her birini normalleştirdiğimiz için), bu nedenle kompakt dahil etme ile yakınsak bir alt dizi vardır $u_{n_j} \xrightarrow{W^{|\alpha|,p}} u$.

Şimdi, çelişkili ifadeyi yazın: $$ \|D^{\alpha} u_{n_j}\|_{L^p} > \epsilon\|u_{n_j}\|_{W^{k,p}} + n \|u_{n_j}\|_{L^p} = \epsilon + n \|u_{n_j}\|_{L^p} \tag{*} $$

O zamandan beri unutmayın $1 = \|u_{n_j}\|_{W^{k,p}} \geq \|D^{\alpha}u_{n_j}\|_{L^p}$, LHS şunlarla sınırlıdır: $1$. Buradan sağ tarafın sınırlanması gerekir$1$. Ama bunun gerçekleşmesi için, sahip olmalıyız$\|u\|_{L^p} = 0$, çünkü değilse, o zaman RHS şöyle görünecektir $\epsilon + n \|u\|_{L^p}$ büyük için $n$, sınırlandırılmadıkça $\|u\|_{L^p} = 0$. Bu nedenle$u=0$.

Ama bizde de var $D^{\alpha} u_{n_j} \xrightarrow{L^p} D^{\alpha} u = 0$. Ancak, sınırlar alırsak$*$ anlıyoruz $\|D^{\alpha}u\|_{L^p} > \epsilon$. Bu çelişkiyi tamamlar.