İrrasyonalite karar verilebilir mi?
Lüroth probleminin cevabı olumlu olduğunda, cins (eğriler için) veya Castelnuovo'nun kriterleri (ayrılabilir mantıksız yüzeyler için), belirli bir çeşitliliğin tek yönlü olup olmadığına karar veren hesaplanabilir değişmezler verir.
Akılcı olmayan örneklerin bilindiği en basit durumlarla ilgileniyorum: yani yüzeyler $\overline{\mathbb{F}_p}$ ve 3 kat $\mathbb{C}$.
Yukarıdaki tipin belirli bir çeşidinin tek yönlü olup olmadığını belirlemek için bir algoritma olup olmadığı biliniyor mu?
Saf bir umut, rasyonel bir haritanın derecesine göre bir sınır oluşturmak olacaktır. $\mathbb{P}^n \to X$ ancak bu açıkça imkansızdır çünkü rasyonel haritalar $\mathbb{P}^n \to \mathbb{P}^n$ sınırsız dereceye sahip.
Bundan sonraki en iyi şey, böylesi rasyonel bir haritanın minimum derecesine hesaplanabilir bir üst sınır koymak olacaktır. Yukarıda özetlediğim iki durum için bu tür sınırlar biliniyor mu? Prensipte bu tür sınırlar bir algoritma sağlamak için yeterli midir?
Yanıtlar
Bu, geniş çapta incelenen bir sorundur ve bence mevcut teknoloji ile bu sorunun yanıtlanması olası görünmüyor. Özelliğe bağlı kalmama izin ver$0$basitlik için; öykü pozitif özellik bakımından çok daha zenginleşir (her yere 'ayrı ayrı' sıfatını ekleseniz bile).
Unirational çeşitler rasyonel olarak bağlantılıdır ve bu da şu anlama gelir: $H^0(X,(\Omega_X^1)^{\otimes m}) = 0$ hepsi için $m > 0$. Mumford, bu kaybolmanın tersine şunu ima ettiğini varsaydı:$X$rasyonel olarak bağlantılı, ancak bu varsayım hakkında çok az şey bilindiğini düşünüyorum. En azından Mumford'a inanıyorsanız (ve belki de$m$ denemek zorundasınız, Castelnuovo'nun kriterine benzer şekilde), o zaman rasyonel bağlılık bir şekilde karar verilebilir olmalıdır.
Bununla birlikte, iyi bilinen açık bir problem, rasyonel olarak bağlantılı her çeşidin irrasyonel olup olmadığıdır (bence insanlar bunun yanlış olmasını bekliyor - kesinlikle öyle). Buna cevap veremememizin nedeni, ikisini ayırt edebilecek herhangi bir engelimizin olmamasıdır. Bu nedenle, bir çeşitliliğin irrasyonel olup olmadığına karar veren bir karakterizasyon verebilmemizin pek olası olmadığını düşünüyorum.
Ailelerde irrasyonalite durumunun ne olduğundan emin değilim, ancak (istikrarlı) rasyonalite, Hassett-Pirutka-Tschinkel'in yumuşak yansıtmalı çeşitlerinin değişmez bir deformasyonu değildir . Öylesine ayrık [yani, ailelerde yerel olarak sabit] değişmezler, kohomolojinin kaybolması (kararlı) rasyonaliteyi saptamak için yeterli değildir ve büyük olasılıkla aynısı, irrasyonellik için de doğrudur.
Yüzeylere gelince $\bar{\mathbf F}_p$bazı K3 yüzeyleri tek yönlüdür, ancak çoğu değildir, bu nedenle bir kez daha deformasyon değişmez değildir. Shioda, eğer$X$ cebirsel olarak kapalı bir alan üzerinde bir yüzeydir $k$ karakteristik $p > 0$ ile $\pi_1^{\operatorname{\acute et}}(X) = 0$, sonra $X$ irrasyoneldir ancak ve ancak $H^2_{\operatorname{cris}}(X/K)$ süper tekildir, yani Frobenius'un tüm eğimleri $1$. (Bu açıkça gerekli bir koşuldur, çünkü$H^2_{\operatorname{cris}}(X/K) \hookrightarrow H^2_{\operatorname{cris}}(Y/K)$ enjekte edicidir ve aşağıdaki durumlarda Frobenius eylemlerini korur $Y \twoheadrightarrow X$düzgün yansıtmalı çeşitlerin baskın bir haritasıdır; örneğin Prop bkz. Kleiman kağıt içinde 1.2.4 Cebirsel döngüleri ve Weil conjecutres içinde Dix ortaya çıkarır .)
Ancak bu, eğer olursa ne olacağı hakkında hiçbir şey söylemiyor. $\pi_1^{\operatorname{\acute et}}(X) \neq 0$sonlu olması ve sırası ile bölünemez olmasına rağmen $p$(örneğin Chambert-Loir tarafından yazılan bu nota bakın ). Yani önce evrensel kapsamı hesaplamanız ve ardından eğimleri hesaplamanız gerekiyor - bunu yapmanın daha doğrudan bir yolu olup olmadığından emin değilim. Shioda'nın varsayımını varsayarsak, bu bir kriter verir.