K-Teorisi $C^{*}(X)$

Question

K-Theory'de yeniyim $C^{*}$-algebra ve $C^{*}$- grupların cebiri.

Eğer $X$ doğal sayıların sonlu destek önyargıları grubudur, sonra K-Teorisi nedir? $C^{*}(X)$?

Hesaplamayı planlıyordum $C^{*}(X)$ önce ve sonra projeksiyonları ve homotopi sınıfları, ancak belirleyemedim $C^{*}(X)$ ilk başta.

İşte tanımı $C^{*}$-bir grubun cebiri:

https://pages.uoregon.edu/ncp/Courses/2016ShanghaiCrPrdFiniteGps/Slides/Lecture1_Print_NoP.pdf

Birisi bana yardım edebilir mi?

Çok teşekkürler.

Answer 1

Tanımladığınız grup sonsuz simetrik grup olmalıdır $S_{\infty}$. $K$- teorisi $C^*$-algebra, Kerov ve Vershik tarafından belirlendi

Sonsuz simetrik grubun K-fonksiyonu (Grothendieck grubu) https://link.springer.com/article/10.1007/BF02104985

Ana sonuç şu şekilde özetlenebilir: Let $\mathcal{A}$sonsuz sayıda değişkenli simetrik polinomların halkası olabilir. Bu izomorfiktir$\mathbb{Z}[a_1, a_2, \dots]$, nerede $a_i$ ... $i$sonsuz sayıda argümanda temel simetrik fonksiyon. Sonra$$ K_0(C^*S_{\infty}) \cong \mathcal{A}\,/\, (a_1 - 1)\mathcal{A}\ . $$ İzomorfizm indirgenemez temsili gönderir $\pi_{\lambda}$ Young diyagramına karşılık gelen $\lambda$ karşılık gelen Schur işlevine $\lambda$. Bu aynı zamanda halkaların bir izomorfizmidir, burada sol taraftaki halka yapısı şu gözlemden gelir:$$ K_0(C^*S_{\infty}) \cong \lim_n K_0(C^*S_n) $$ ve iki gösterimi çarpar $\pi_1 \colon S_n \to GL(V)$ ve $\pi_1 \colon S_m \to GL(W)$ -e $$ Ind_{S_n \times S_m}^{S_{n+m}}(\pi_1 \otimes \pi_2)\ , $$ nerede $S_n \times S_m$ içeride oturur $S_{n+m}$ ile $S_n$ ilkini permütasyon $n$ elementler ve $S_m$ diğerine izin vermek $m$.