Karmaşık manifold üzerinde tanımlanmış $\mathbb{Q}$

Question

Karmaşık yansıtmalı çeşitleri göz önünde bulundurursak, $\mathbb{Q}$ , görüntüsü, katsayıları olan bir polinom sisteminin kaybolan lokusu olan yansıtmalı bir gömme olduğu anlamına gelir. $\mathbb{Q}$.

Kapalı karmaşık manifoldları düşünürsek, belirgin bir ortam boşluğu yoktur.

Bununla birlikte, pozitif bir tamsayı olmasını isteyebiliriz $n$ ve bir seçim

• herhangi $1\leq i\leq n$, açık setler $U_i\subset M$
• herhangi $1\leq i<j\leq n$ öyle ki $U_i\cap U_j\neq \emptyset$, puan $p_{i, j}\in U_i\cap U_j$
• herhangi $1\leq i \leq n$holomorfik düğünler $\phi_i:U_i\to \mathbb{C}^{d}$ öyle ki herhangi biri için $i< j \leq n$ ile $U_i\cap U_j\neq \emptyset$ geçiş haritaları $\phi_i(U_i\cap U_j)\to \phi_j(U_i\cap U_j)$ iki holomorfik fonksiyonun oranları $\phi_i(U_i\cap U_j)\to \phi_j(U_i\cap U_j)$ her biri katsayıları olan Taylor serisine sahip $\mathbb{Q}$ etrafında $p_{i, j}$ hepsinde birleşen $\phi_i(U_i\cap U_j)$?

Bu kavram incelendi mi? Fujiki sınıfında olmayan kapalı bir kompleks manifold var mı$\mathcal{C}$ bu koşulu tatmin ediyor mu?

Answer 1

Bunun orijinal soruya doğru bir cevap olduğuna dikkat edin, bu yüzden soru şimdi değiştirilmiş olsa bile onu burada bırakacağım. (Orijinal soru, önceki sürümlere geri dönülerek kurtarılabilir.)

Aslında, her karmaşık manifoldun böyle bir atlası vardır.

İzin Vermek $(M,J)$ (sonlu boyutlu) bir kompleks olmak $n$-manifold ve izin $\mathscr{U}$ açık kapak olmak $M$şöyle ki ile , (i) her biri için$U\in\mathscr{U}$, var $J$-holomorfik grafik $\zeta:U\to\mathbb{C}^n$ve (ii) Her biri için$U\in\mathscr{U}$ bir nokta var $p\in U$ hiçbirinde yalan söylemez $V\in\mathscr{U}$ ondan başka $U$. (Parakompaktlığı kullanarak, böyle bir çizelge oluşturmak zor değildir.) Sonra böyle bir 'referans noktası' seçerek$p_U\in U$ ile $p_U\not\in V\in\mathscr{U}$ için $V\not=U$ ve bir $J$-holomorfik grafik $\zeta_U:U\to\mathbb{C}^n$ Böylece $\zeta_U(p_U) = 0\in\mathbb{C}^n$, 'sivri bir atlas'a varıyoruz $$ \widehat{\mathscr{U}} = \{ (U,\zeta_U,p_U)\ |\ U\in \mathscr{U}\ \} $$belirtilen tüm özelliklere sahip. Nedeni, tek nokta, nokta$p_U$ sivri atlas için bir geçiş fonksiyonunun etki alanı içindedir $ \widehat{\mathscr{U}}$ kişinin 'geçiş yaptığı' zamandır $U$ -e $V=U$ve bu durumda, tek geçiş işlevi, $\zeta_U(U)\subset\mathbb{C}^n$Taylor serisi $\zeta_U(p_U) = 0\in\mathbb{C}^n$ açıkça tüm katsayılara sahiptir $\mathbb{Q}$ (aslında, tüm katsayılar $\mathbb{Z}$).