Komütatöründen bir Operatör Bulma

Question

Doğrusal operatör için genel bir form türetmenin mümkün olup olmadığını anlamaya çalışıyorum $L_z$(Kuantum mekaniğinde dönme momentumu) dört doğrusal operatörün bir kombinasyonu

$$X, Y, P_X, P_Y$$

sadece komütatörlerini bilmeye dayanır. Haricinde dört operatörün de işe gidip geldiğini biliyoruz$X$ ve $P_X$, ve $Y$ ve $P_Y$. Daha spesifik olarak:

$$ [X, P_X] = I = \text{the identity function} $$

$$ [Y, P_Y] = I = \text{the identity function} $$

Nerede $[., .]$ iki operatörün komütatörüdür öyle ki $[A, B] = AB - BA$. (Kuantum mekaniğinde sağ tarafın$1$ ve bir $i\hbar$, ancak bu sorunun genel fikri ile alakasız)

Biz biliyoruz ki:

$$ L_z = \sum_{\alpha,\beta,\gamma,\delta=0}^{\infty} c_{\alpha,\beta,\gamma\,\delta} X^\alpha Y^\beta P_x^\gamma P_y^\delta + d_{\alpha, \beta, \gamma, \delta} P_x^{\alpha} P_Y^\beta X^\gamma Y^\delta $$

Ayrıca komütatörlerini de biliyoruz $L_z$ dört operatörle:

$$ [L_z, X] = -Y $$

$$ [L_z, Y] = X $$

$$ [L_z, P_X] = -P_Y $$

$$ [L_z, P_Y] = P_X $$

Kuantum mekaniğinden biliyoruz (olası bir çözüm) $L_Z = X P_Y - Y P_X$. Ancak genel biçim nasıl bulunur?$L_z$?

Kullanışlı olabilecek aşağıdaki denklemi türettim: (aynı zamanda $y$)

$$ [X^{a}, P_X^{b}] = \sum_{m=0}^{a-1}\sum_{n=0}^{b-1} \begin{pmatrix}b-1 \\ n\end{pmatrix} P_X^{b-1-n} X^{m} P_X^n $$

Answer 1

Merkezi bölgesinin Weyl cebir (ürettiği cebir$X, Y, P_X, P_Y$), kimliğin skaler katlarından oluşur, bu nedenle cevap, kurtarabilmenizdir. $L$kimliğin skaler katına kadar; başka bir deyişle, genel çözüm şudur:$X P_Y - Y P_X + c I$ bazı skaler için $c$. Argüman argüman çok benzer Burada Weyl cebir defalarca komütatör uygulayarak basit olduğunu gösterir.