Koşullu olasılığın modellenmesi

Question

Sorun:

Bize üç madeni para verildi: birinin her iki yüzünde de kafa, ikincisinin iki yüzünde de kuyruk ve üçüncüsünün bir yüzünde bir kafa ve diğerinde bir kuyruk var. Rastgele bir bozuk para seçeriz, fırlatırız ve sonuç tura olur. Karşı yüzün kuyruk olma olasılığı nedir?

Çözüm:

Eğer $p = P(\text{Two headed coin was chosen | Heads came up}) = \displaystyle{\frac{\frac 13}{\frac 12} = \frac 23}$, o zaman karşı yüzün kuyruk olma olasılığı $1 − p = \displaystyle{\frac 13}$.

Olasılık konusunda yeni, bu çözümün nasıl çalıştığını daha ayrıntılı olarak görmek istiyor.

Sorularım:

1. örnek alan $\{HH, HT, TT\}$. Kafaların ortaya çıkması durumu, unsurları ifade eder$\{HH, HT\}$ ve iki başlı madalyonun seçilmiş olması, $\{HH\}$. Olasılığını istiyoruz$\{HH, HT\} \cap \{HH\} = \{HH\}$. Seçme olasılığı$HH$ dır-dir $\displaystyle{\frac 13}$Tekdüzen Olasılık Yasası ile. Bu doğru mu?

2. Bunu hesapladığımızda $P(\text{Heads came up}) = \displaystyle{\frac 12}$, örnek alan nedir? bu mu$\{H, T\}$ veya $\{HH, HT, TT\}$? Teşekkürler.

düzenle :

Sanırım nihayet buradaki örnek uzayının nasıl modelleneceğini anladım.

Yazı tura atmak sıralı bir deneydir ve bu nedenle sıra önemlidir. Örneğin,$HT$ farklı $TH$.

Örnek alanımız $\{H_1H_2, H_2H_1, T_1T_2, T_2T_1, TH, HT\}$.

Böylece

$P(\text{two headed coin was selected $\ cap$ heads came up(in the first toss)}) = P(\{H_1H_2, H_2H_1\}) = \frac 26 = \frac 13$

tek tip olasılık kanunu ile.

$P(\text{heads came up(in the first toss)}) = P(\{H_1H_2, H_2H_1, HT\}) = \frac 36 = \frac 12$ tek tip olasılık kanunu ile.

Answer 1

Sorunuz 1 için Bayes teoremini, peşinde olduğunuz olayın madeni parayı hem H hem de T yüzü ile seçmiş olmanızla aynı olduğunu belirterek uygulayabilirsiniz.

$$P(\text{coin is HT}|\text{toss H}) = \frac{P(\text{toss H} | \text{coin is HT}) \, P(\text{coin is HT})}{P(\text{toss H})}$$ ve uygun değerlerin takılması.

2. sorunuz için (yani yukarıdaki payda), örnek alanını bölümlere ayırmak için Toplam Olasılık Yasasını (LOTP) kullanabilirsiniz:

$$P(\text{toss H}) = P(\text{toss H} | \text{coin is HH})P(\text{coin is HH}) + P(\text{toss H} | \text{coin is HT})P(\text{coin is HT}) + P(\text{toss H} | \text{coin is TT})P(\text{coin is TT})$$

ve olasılıkları değerlendirmek.