Kuantum üniter dönüşümü

Question

Kuantum mekaniğinde biliyoruz $\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar}H\psi$,

ama neden $U\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar} \left(UHU^\dagger \right) U\psi$?

Anlamında mı $UHU^\dagger = H$? bence$UU^\dagger H = H$ama matrislerin sırasını neden burada değiştirebiliriz?

Answer 1

Bunu aşırı düşünüyorsun, varsayarsak $U$ üniterdir:

$$ U\dot\psi= -\frac{i}{\hbar} UH\psi=-\frac{i}{\hbar} UH\mathbb 1\psi= -\frac{i}{\hbar} UHU^\dagger U\psi.$$

$U$ zaman geliştirme operatörü olması gerekmez ve işe gidip gelmesi gerekmez $H$bunun işe yaraması için herhangi bir üniter olabilir. Bu sadece yazarsan$\psi$başka bir temelde, o zaman yeni temelde yazılan Hamiltoncu ile gelişir. (Veya eşdeğer olarak, döndürülmüş bir vektörün döndürülmüş Hamiltoniyen ile evrilmesi)

Answer 2

1. Hamiltoniyen $\hat{H}$ zamana bağlı değildir ve $U$ zaman evrimi operatörü olduğu varsayılırsa $$\hat{U}~=~\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\hat{H}\Delta t\right),\tag{A}$$ hangi işe gidip gelir$^1$ ile $\hat{H}$, Böylece $$UHU^{\dagger} ~=~ H,\tag{B}$$cf. OP'nin sorusu.

2. Hamiltoniyen $\hat{H}$zamana ve sonra eqs'e bağlıdır. (A) ve (B) 'nin değiştirilmesi gerekiyor, cf. örneğin bu Phys.SE gönderisi.

-

$^1$ Bir işlev $f(\hat{H})$ nın-nin $\hat{H}$ ile gidip gelir $\hat{H}$, cf. örneğin bu ve bu Phys.SE gönderileri.

Answer 3

user2723984 doğru. Bununla birlikte, sorunuzun 2. kısmı çözülmedi: Hamiltoniyen kendisiyle farklı zamanlarda gidip gelirse, o zaman içindeki tek operatör$U$ dır-dir $H$ ve benzeri $H$ kendisi ile gidip gelirse, operatörlerin sırası değiştirilebilir.