Küredeki Eğri

Question

İzin Vermek $\alpha:I\rightarrow\mathbb{R}^3$düzenli bir eğri olabilir. Bir nokta varsa$P\in\mathbb{R}^3$ Öyle ki içinden geçen hat $P$ ve $\alpha(t)$ teğet doğrusuna dik $\alpha$ anında $t$ herhangi $t$, sonra izi $\alpha$ bir küre içinde yer alır.

Gibi $(P-\alpha(t))\cdot \alpha'(t)=0$ ve $((P-\alpha(t))\cdot (P-\alpha(t)))'=-2(P-\alpha(t))\cdot \alpha'(t)$, sonra

$$|P-\alpha(t)|^2=\int((P-\alpha(t))\cdot (P-\alpha(t)))'dt=\int-2(P-\alpha(t))\cdot \alpha'(t)dt=\int0dt=c$$ bazı $c\geq0$.

Doğru mu? Bütünleştirmeden nasıl çözebilirim?

Answer 1

Entegrasyon kavramını bilmenize bile gerek yok! Sadece şu gerçeği kullan$$\left(\bigl\|P-\alpha(t)\right\|^2\bigr)'=0$$her biri için $t$bunu takip eder $t\mapsto\|P-\alpha(t)\bigr\|$ sabittir.