Maksimum değeri $\sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2)$?

Question

Bu yüzden ders kitabımda bir soru ile karşılaştım:

ABC üçgeninde, eğer $A$,$B$,$C$ açıları temsil edin, sonra maksimum değerini bulun $\sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2)$?

Bu yüzden zaten denedim ve en iyisi bu soruya kan, ter ve gözyaşlarımı koydum .. Ama daha fazla çözemiyorum!

İşte benim yaklaşımım: Kullanarak $\sin(C)+\sin(D)$ ve $A+B+C= \pi$;

1. $2\sin(\frac{A+B}{4})\cos(\frac{A-B}{4})+\cos(\frac{A+B}{2})$ Şimdi, Kullanarak $\cos(2A)$ formül yani, $1-2\sin^2(A) $
2. $2\sin(\frac{A+B}{4})\cos(\frac{A-B}{4})+1-2\sin^2(\frac{A+B}{4})$
3. Bu yüzden değişken olarak ikinci dereceden aldım $\sin(\frac{A+B}{4})$
4. $-2\sin^2(\frac{A+B}{4})+2\sin(\frac{A+B}{4})\cos(\frac{A-B}{4})+1$

Ama bundan sonra ne yapacağımı bilmiyorum

Bu soruyu bu yöntemi kullanarak çözebilir miyim yoksa farklı bir yaklaşım kullanmalıyım!

BTW, cevap 3/2

Düzenleme: Lisemi yeni bitirdim ve IIT-JEE giriş sınavına hazırlanıyorum, bu yüzden lütfen bu soruyu çözmek için sert terimler kullanmayın.

Bu çözüm öğretmenim tarafından gönderildi, en azından bunu anlamamı sağla [https://i.stack.imgur.com/51pCB.png]

Answer 1

Durduğun yerde bırak $$z=-2\sin^2x+1+2\sin x\cos y$$

$$\iff2\sin^2x-2\sin x\cos y+z-1=0$$

Gibi $\sin x$ gerçektir, ayrımcı olmalıdır $\ge0$

$\implies8(z-1)\le(-2\cos y)^2\le2^2$

$\implies8z\le4+8$

Eşitlik, eğer $\cos^2y=1\iff\sin y=0$

ve sonuç olarak $\sin x=\mp\dfrac{\cos y}2=\mp\dfrac12$

Answer 2

Dan beri $\sin x$olan içbükey akut ile$x$, Jensen'in eşitsizliğine göre maksimum bulunur$A/2=B/2=C/2=\pi/6$, gibi $3\sin\pi/6=3/2$.

Düzenleme: OP, @ B. Goddard'ın farklılaşmayı bildiklerine dair cevabına yapılan bir yorumda bahsettiğinden, işte eşkenar vakanın maksimuma ulaştığının bir başka kanıtı:

Kullanmaya devam et $\frac{C}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{2}$. Genişletmek için$\sin\frac{A}{2}+\sin\frac{B}{2}+\cos\frac{A+B}{2}$ aynı anda çözmek$$\tfrac12\cos\tfrac{A}{2}-\tfrac12\cos\tfrac{C}{2}=0,\,\tfrac12\cos\tfrac{B}{2}-\tfrac12\cos\tfrac{C}{2}=0$$yani. $A=B=C$. Okuyucuyu ikinci türevleri dikkate alarak maksimum olduğunu kontrol etmesi için bırakacağım.

Answer 3

Bunu Lagrange çarpanları ile yapabilirsiniz. Büyüt$f=\sin x/2 + \sin y/2+\sin z/2$ kısıtlama altında $g=x+y+z = \pi$.

Sonra

$$\nabla f = \langle \cos(x/2)/2, \cos(y/2)/2, \cos(z/2)/2 \rangle =\lambda\langle 1,1,1 \rangle = \nabla g.$$

Bu gösteriyor ki $x=y=z$ ve maksimal üçgen eşkenar.

Answer 4

ABC üçgeninde, $A+B+C=\pi$ $$f(x)=\sin(x/2) \implies f''(x)=-\frac{1}{4}\sin(x/2)<0, x\in[0,2\pi].$$ Jemsen'in eşitsizliğine göre $$\frac{f(A/2)+f(B/2)+f(C/2)}{3} \le f(\frac{A+B+C}{6}).$$ $$\implies \frac{\sin (A/2)+\sin(B/2)+\sin{C/2}}{3} \le \sin\frac{\pi}{6}.$$ $$\implies \sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2) \le \frac{3}{2}$$