Martingale Tanım gösterimi

Question

Shreve'nin Stokastik Hesabı'nı okuyorum ve şu tanımla bir Martingale'yi ilk kez tanıttığında notasyonla biraz kafam karıştı: $E_n(X_{n+1})=X_n $ Anlamadığım şey neden $X_n$büyük harfle yazılmıştır. Rastgele bir değişkenin aldığı belirli bir değere atıfta bulunduğumuzda şunu yazacağımızı düşündüm$x$ aksine $X$. Değil mi$X_n$ burada o andaki bilinen bir değere gönderme $n$?

Answer 1

Buradaki notasyonun ne anlama geldiğini kendiniz için netleştirmelisiniz. Operatör$\mathbb{E}_{n}$ bazı sigma cebirinin söylediği göz önüne alındığında, koşullu beklentinin kısaltmasıdır $\mathcal{F}_{n}$ bir filtrasyonun $\lbrace \mathcal{F}_{n}\rbrace_{n\ge 1}$, yani \ başlangıç ​​{denklem} \ mathbb {E} _ {n} [X]: = \ mathbb {E} [X | \ mathcal {F} _ {n}]. \ end {denklem} Ve bu adam deterministik değil rastgele! Yani, hepsine karşı entegre olan rastgele değişken olarak tanımlanır.$\mathcal{F}_{n}$- aynı şekilde ölçülebilir rastgele değişkenler $X$yapar. Şimdi$\mathbb{E}_{n}[X_{n+1}]$ rastgele olmak, daha az şaşırmalısın $X_{n}$(rastgele olan) denkleminizin sağ tarafında büyük harfle yazılıyor. İki rastgele değişken arasındaki bir özdeşliktir (bu nedenle btw'den yalnızca doğru olması istenir$\mathbb{P}$-neredeyse kesinlikle).