Metrik varyasyonu

Question

Hilbert fonksiyonunun Euler-Lagrange denklemleri olarak Einstein alan denklemlerinin türetilmesine bakıyorum. Bunu yapmak için bir varyasyonla başlar$$ g(t) = g+th $$ metriğin nerede $h$simetrik 2-kovaryant bir tensördür. Küçük için$t$, $g(t)$ tersinir olacaktır (bunu bir matris olarak yorumlarsak), bu nedenle bileşenleri dikkate almak mantıklıdır $g(t)^{ij}$tersi. Sahibiz$$ 0 = \frac{d}{dt}\Big|_0 (g(t)_{ij} \, g(t)^{jk}) = h_{ij} g^{jk} + g_{ij}h^{jk} \quad\Rightarrow \quad h^{lk} = - g^{il} g^{jk} h_{ij}. $$ Sorum: Katsayılar tam olarak ne yapıyor?$h^{lk}$ temsil etmek?

Her zaman, diyelim ki, 1-kovaryant tensörü varsa $A = A_i dx^i$, sonra $A^i$ 1-kontravaryant tensörün bileşenlerini belirtir $A^\#$(cf. müzikal izomorfizmler ), tarafından verilen$A^i = g^{ij}A_j$. Ama formülünde$h^{lk}$ katsayıları görebildiğim kadarıyla yukarıda da bir eksi işareti var. $h^{lk}$ endeksleri yükselterek elde edilmez $h_{lk}$. Bununla birlikte, bu durumda metrik gerçekten sabit değildir, bu nedenle müzikal izomorfizmler de değildir, bu benim için kafa karışıklığının kaynağı olabilir.

Answer 1

Senin hatan bu $$h^{jk} \neq \frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} g(t)^{jk}.$$Aslında, $h^{jk}$ olan iki indisleri yükselterek elde edilen$h_{jk}$. Gösterdiğin şey şudur$$\frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} g(t)^{\ell k} = -g^{i\ell}g^{jk}h_{ij} = - h^{\ell k}.$$Bunun arkasındaki felsefe şudur: eğrinin başlangıç ​​hızının $t\mapsto g(t)$ dır-dir $h$ve ilişkili diğer geometrik nesnelerin başlangıç ​​hızlarını hesaplamak istiyorsunuz $g(t)$ açısından $h$. Ters katsayıların eğrisinin başlangıç ​​hızı$-h$ (müzikal izomorfizmlere kadar).

Katsayılarla uğraşırken, matris Lie grupları üzerinde hesaplamalar yapıyorsunuz. Orada, ters çevirmenin türevi için formül$\iota(A)=A^{-1}$ tarafından verilir $d\iota_A(H) = - A^{-1}HA^{-1}$yani her şey yolunda (ile karşılaştır $(1/x)'=-1/x^2$ve değişmez hale getirin; her biri$A^{-1}$ bir endeksi yükseltmeye karşılık gelir).