Mı $S^1$ koni $D^2$?

Question

İzin Vermek $X$ topolojik bir uzay olalım $Y=X \times [0,1]$ ve $A=X \times \left \{ 0 \right \} \subset Y$. X üzerindeki koni boşluktur$\left \{ X \times [0,1] \right \}/\left \{ X \times \left \{ 0 \right \} \right \}$.

Şimdi izin ver $X=S^1$, amacım koninin açık olduğunu kanıtlamak $X$ homeomorfiktir $D^2$, nerede $D^2$ içindeki üniter kapalı disktir $\Bbb R^2$. Temel olarak, bu koni, alt tabanın bir noktaya daraltılmasıyla bir silindirden elde edilir.

Kutupsal koordinatları kullanarak bir harita oluşturabiliriz $f: \left \{ X \times [0,1] \right \}/\left \{ X \times \left \{ 0 \right \} \right \} \rightarrow D^2$ olarak tanımlandı $f(\theta, \rho)= \rho(\cos \theta, \sin \theta)$.
Bu harita sürekli, enjekte edici ve kuşatıcıdır, ancak bunun bir homeomorfizm olduğunu nasıl kanıtlayabiliriz?

Answer 1

Göstermek için $f$ kompaktlığı kullanmadan bir homeomorfizmdir, açıkça tersini oluşturabilirsiniz $f$, yani $$ g(x, y) = [t(x, y), \sqrt{x^2 + y^2}] $$ parantezlerin denklik sınıfını gösterdiği ve $$ t(x, y) = \begin{cases} 0 & (x, y) = (0,0) \\ \frac{\pi}{2} & x = 0, y > 0\\ \frac{3\pi}{2} & x = 0, y < 0\\ \arctan(y/x) & x > 0 \\ \pi + \arctan(y/x) & x < 0 \end{cases} $$ bu değerlerin her birinin bir sayı olarak kabul edileceği yerde (mod $2\pi$), dolayısıyla bir unsur $S^1$.

Sürekliliği $g$ dışında her yerde oldukça net $y$eksen. Bunlar için bunu göstermeniz gerekecek$g^{-1}(U)$ her zaman açık $U$ etki alanında açıktır, bu da bölümdeki açık kümeleri tanımlamanın bir yolunu yazmak anlamına gelir, bu boyun ağrısıdır, ancak bunu yapabilirsiniz.