Monadik lineer düzen teorisinde gerçeklerin monadik teorisinin yorumlanması.

Aug 17 2020

Aşağıda Gurevich, Shelah - Monadik Düzen Teorisinde İkinci Derece Mantığı Yorumlamaktan bir alıntı var . Gerçek doğrunun monadik teorisinin monadik düzen teorisinde nasıl yorumlanabilir olduğunu anlamaya çalışıyorum (daha fazla açıklama veya kanıt içermezler, sadece kolayca yapılabileceğini söylerler).

İşte yararlı olabilecek bazı tanımlar. Eğer$(\alpha,<)$ doğrusal bir düzendir, sonra 'monadik teorisi tarafından $\alpha$'yapının birinci dereceden teorisi kastedilmektedir $(\mathcal{P}(\alpha),\subseteq,<)$ nerede $<$ siparişi $\alpha$singleton alt kümelerinde verilir. 'Monadik düzen teorisi', izin verdiğimiz tüm bu birinci dereceden teorilerin kesişimidir.$\alpha$ tüm doğrusal sıralarda değişmek için.

Belki bazı özyinelemeli aksiyomlar kümesi var mı? $T_{\mathbb{R}}$ öyle ki monadik düzen teorisinin birliğini alırsak $T_{\mathbb{R}}$ yapının tam teorisini alıyoruz $(\mathcal{P}(\mathbb{R}),\subseteq,<)$? (Kayda değer, hem monadik düzen teorisi hem de monadik teori$\mathbb{R}$ karar verilemez).

Bu 'kolay' yorumu bulamıyorum ama bariz bir şeyi kaçırıyor olabileceğimi hissediyorum.

Yanıtlar

3 NoahSchweber Aug 17 2020 at 05:19

Orijinal stratejimi nasıl düzelteceğimi bilemiyorum - özellikle, bir karşı örneğim olmamasına rağmen, "son noktaları veya izole noktaları olmayan, Dedekind-tam bir doğrusal düzen" olduğundan şüpheleniyorum, tüm alt sınırları eş sonlu ve eşselliğe sahiptir $\le \omega$"Ne değil mutlaka aşağı pin$\mathbb{R}$ izomorfizme kadar.

Bununla birlikte, yine de beklenen azalmayı elde edebiliriz (bir bakışta bu kendi başına bir yorum getirmese de - hala bunu düşünüyoruz). Doğrusal bir düzen olduğunu söyle$A$ dır-dir $\mathbb{R}$ish, eğer Dedekind-tamamlanmışsa ve uç noktaları veya izole noktaları yoksa. Temel gözlem şudur:

(Lemma) Her$\mathbb{R}$ish düzeninin alt sıralaması izomorfiktir $\mathbb{R}$, ve hepsi $\mathbb{R}$ish alt sırası $\mathbb{R}$ izomorfiktir $\mathbb{R}$.

O zaman mesele şu ki $\mathbb{R}$MSO ile tanımlanabilir bir anlamda MSO tarafından tanımlanabilir bir sıralama sınıfının en altında bulunur. Böylece aşağıdaki çeviriyi yapabiliriz:

(Tanım) MSO cümlesi için$\varphi$, İzin Vermek $\hat{\varphi}$ MSO cümlesi "Her $\mathbb{R}$ish düzeninde bir $\mathbb{R}$ish alt sipariş tatmin edici $\varphi$. "

Lemma tarafından biz buna sahibiz $\hat{\varphi}$ MSO-düzen teorisinin bir parçasıdır iff $\mathbb{R}\models\varphi$:

  • Eğer $\mathbb{R}\not\models\varphi$ sonra $\mathbb{R}\not\models\hat{\varphi}$her şeyden beri $\mathbb{R}$ish alt sınırları $\mathbb{R}$ izomorfik $\mathbb{R}$ lemma başına ve dolayısıyla da tatmin etmiyor $\varphi$.

  • Tersine, eğer $\mathbb{R}\models\varphi$ sonra her $\mathbb{R}$ish doğrusal sıranın bir $\mathbb{R}$ish alt sipariş tatmin edici $\varphi$ - yani, herhangi bir alt sıra izomorfik $\mathbb{R}$ lemma başına var olması garantili olan kendisi.

Harita $\varphi\mapsto\hat{\varphi}$ açıkça hesaplanabilir olduğu için, $Th_{MSO}(\mathbb{R})$ monadik düzen teorisine istendiği gibi.