Mutlak değerle birinci dereceden bir ODE'yi çözme

Question

Diferansiyel denklemler üzerine sınıfımda, aşağıdaki başlangıç ​​değeri problemiyle karşılaştım

\ başlangıç ​​{toplama} y '= 1 + | y-1 | \\ y (0) = 0 \ end {toplama}

Bunu çözemiyorum. ODE birinci mertebedir, ancak mutlak değer onunla bütünleşemediğim veya bunun gibi bir şey yapamadığım için kafamı karıştırıyor, denklem doğrusal değil ve beni sıkıştı. Bunun çözümü nasıl bulunur? Mutlak değer pürüzsüz olmasa da varoluşun ve benzersizliğin geçerli olduğunu biliyorum, ancak Lipschitz sürekliliği olduğu için bulamadığım pürüzsüz bir çözümün var olması gerektiğini biliyorum. Biri bana bunu nasıl çözeceğimi gösterebilir mi? Tüm yardımcılara teşekkür ederim.

Answer 1

Her parçayı çözebilir misin $$ y'(x) = \begin{cases} 1 + (y(x) - 1) &, y(x) \geq 1 \\ 1 - (y(x) - 1) &, y(x) < 1 \\ \end{cases} $$

İlk koşul olduğundan beri $y(x) - 1 = -1 < 0$, ikinci parçadan başlıyorsun. Bu çözümü ileriye doğru geliştirirseniz,$x$ yapar $y(x) = 1$meydana gelir mi? Sonra ne?