Neden Bloch küresinin 3. boyutu?

Question

Belirli bir durum vektörünün olasılık dağılımını temsil ettiği için iki boyutlu bir blok çemberinin arkasındaki sezgiyi anlayabiliyorum. Ancak, olasılıklar söz konusu olduğunda üçüncü boyutun görselleştirmeye ne kattığını kavrayamıyorum. Nasıl yardımcı olur? Bloch dairesinin modele eklemediği şey nedir?

Uzunluk her zaman 1 olduğu için, z ekseni eklemenin amacı nedir?

Answer 1

Bir kübit, iki seviyeli bir kuantum sistemidir ve bu nedenle şu şekilde yazılabilir:

$$ |\psi \rangle = \alpha |0\rangle + \beta|1\rangle $$

nerede $|0 \rangle$ ve $|1\rangle$ hesaplama temelidir ve şu şekilde tanımlanır: $$ |0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \ \ \ \ |1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$

ve $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$. Bu yüzden bizde var$|\psi \rangle \in \mathbb{C}^2 $ve aklınıza gelebilecek arasında$\mathbb{C}^2$ gibi $\mathbb{R}^4$. Bununla birlikte, kuantum halindeki genel aşamanın önemi yoktur, yani,$|\psi\rangle $ eşdeğerdir $e^{i\phi} |\psi \rangle$. Böylece, bu genel aşamayı$|\psi\rangle$ve yalnızca 3 parametresi kaldı. Esasen şimdi alanı düşünüyorsunuz$\mathbb{R}^3$. Bir kuantum halinin birim normuna sahip olması gereken normalleştirme gerekliliği ile birlikte, bu onu Bloch-Küre dediğimiz bir birim-küre olmaya zorlar.

Answer 2

Olasılıkları görselleştirmeye çalışmıyorsunuz. Olasılık genliklerinin sağladığı çok daha zengin yapıyı görselleştirmeye çalışıyorsunuz. Tek bir kübit için, olasılık genlikleri 3 gerçek parametre, dolayısıyla üç boyutlu uzay gerektirir.

Answer 3

Bloch küresi, durumu aşağıdaki olasılık genlikleriyle temsil eder: $$|\psi\rangle = \cos(\theta/2)\ |0\rangle +e^{i\phi} \sin(\theta/2)\ |1 \rangle, $$ nerede $\theta$ ve $\phi$Bloch küresindeki açılardır. Küre üzerindeki her nokta farklı bir durumu temsil eder. Diğer cevaplarda belirtildiği gibi bunlar$\cos(\theta/2) $ ve $e^{i\phi} \sin(\theta/2) $ devletin eyalette olma olasılıkları değil $0$ veya $1$daha ziyade olasılık genliklerini temsil ederler. Bir olasılık genliğinden bir olasılık elde etmek için, olasılık genliklerinin karesini alırız. Yani,$\cos^2(\theta/2) $ ve $\sin^2(\theta/2) $ olasılıklardır ve bunların toplamının $1$.

Ayrıca açının $\phi$olasılık ifadelerinde görünmez. Bu, görmezden gelebileceğimiz anlamına mı geliyor?$\phi$hep birlikte? Hayır. Eğer yapabilseydik, durumları temsil etmek için gerçekten 2 boyutlu bir küreye ihtiyacımız olmazdı.

Açıyı görmezden gelemememizin nedeni $\phi$Düşüncelerimizden, kuantum mekaniğinin üst üste binme ilkesinden kaynaklanmaktadır. Varsayalım ki,$$|\psi_1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}( |0\rangle + |1 \rangle), \ \ \ \ \ \ \ \ \ |\psi_2\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}( |0\rangle +e^{i\phi} \ |1 \rangle.$$ Sonra süperpozisyon ilkesi bize süperpozisyonlarından üçüncü bir durum oluşturabileceğimizi söyler, $$|\psi_3\rangle = N(|\psi_1\rangle + |\psi_2\rangle) = \sqrt{\frac{2}{3+\cos(\phi)}}\left(|0\rangle + \frac{1+e^{i\phi}}{2} |1\rangle \right) ,$$ nerede $N$ikinci eşitlikte açıkça yazılmış bazı normalleştirme faktörüdür. Her neyse, buradaki nokta şimdi$\phi$çok önemli. Örneğin devletin olasılığı$|\psi_3 \rangle$ olmak $|1\rangle$ devlet, $$P(1) = \frac{1+\cos(\phi)}{3+\cos(\phi)}$$ hangisine çok bağlı $\phi$. Aslında bu olasılık,$0.5$ ne zaman $\phi = 0$ -e $0$ ne zaman $\phi = \pi$.