Negatif Binom Dağılım MGF

Question

Negatif Binom Dağılımı Wikipedia sayfası, Moment-Generation Fonksiyonunu şu şekilde listeler: $(\frac{1 - p}{1 - pe^t})^r$.

Bununla birlikte, Moment Oluşturan Fonksiyon sayfası, Negatif Binom Dağılımının MGF'sini şu şekilde listeler: $(\frac{pe^t}{1 - e^t + pe^t})^r$.

Desmos, bunların cebirsel olarak eşdeğer olmadığını ortaya koyuyor. Hangisi doğrudur ve neden eşitsizlik?

Answer 1

Durumun yapılması yeterlidir. $r=1.$

• İzin Vermek $X$ ilk başarıdan önceki bağımsız deneme sayısı, olasılıkla $p$her denemede başarı. Sonra$X\in\{0,1,2,3,\ldots\}$ ve $\Pr(X=x) = (1-p)^x p.$ O zaman bizde $$ \begin{align} M_X(t) & = \operatorname E(e^{tX}) = \sum_{x=0}^\infty e^{tx} (1-p)^x p \\[8pt] & = \frac p {1 - (1-p)e^t} = \frac{1-q}{1-qe^t}. \end{align} $$

• Şimdi izin ver $X$ tek bir başarıya ulaşmak için gereken bağımsız deneme sayısı, olasılıkla $p$her denemede başarı. Sonra$X\in\{1,2,3,\ldots\}$ ve $\Pr(X=x) = (1-p)^{x-1} p.$ O zaman bizde $$ \begin{align} M_X(t) & = \operatorname E(e^{tX}) = \sum_{x=1}^\infty e^{tx} (1-p)^{x-1} p \\[8pt] & = \frac{pe^t}{1 - (1-p)e^t} = \frac{(1-q)e^t}{1 - qe^t}. \end{align} $$

Bu nedenle, kümede desteklenen "negatif binom dağılımını" göz önünde bulundurursanız, MGF sayfasındaki doğru $\{r,r+1,r+2,\ldots\},$ ve sette NB dağıtımının desteklendiğini düşünüyorsanız NB sayfasındaki doğru $\{0,1,2,3,\ldots\},$ ve rolleri $p$ ve $q$ değiştirilir.

Wikipedia'nın "Negatif binom dağılımı" başlıklı makalesinin şunu söylediğine dikkat edin:

Farklı metinler (ve hatta bu makalenin farklı kısımları) negatif binom dağılımı için biraz farklı tanımlar kullanır. Desteğin şu saatte başlayıp başlamadığına göre ayırt edilebilirler$k = 0$ veya $k = r,$ olup olmadığı $p$ bir başarı veya başarısızlık olasılığını ve $r$ başarı veya başarısızlığı temsil eder, bu nedenle herhangi bir metinde kullanılan özel parametreleştirmeyi tanımlamak çok önemlidir.