Olduğunu göstermektedir $\int\limits_{\mathbb{R}}gd\lambda=\int\limits_{X}g\circ fd\mu$

Question

Varsayalım $(X,\mathcal{A},\mu)$ bir ölçü alanıdır ve $f:X\to\mathbb{R}$ölçülebilir. Olduğunu göstermektedir

1. $\lambda(A)=\mu(f^{-1}(A))$ bir ölçü tanımlar $\sigma$-Borel alt kümelerinin cebiri $\mathbb{R}$
2. Olduğunu göstermektedir $\int\limits_{\mathbb{R}}gd\lambda=\int\limits_{X}g\circ fd\mu$ her Borel işlevi için $g:\mathbb{R}\to [0,\infty]$

Burada 1. parçayı ispat edebildim.
Ama 2. bölümle uğraşıyorum.

Biliyorum integralinin $g$ basit fonksiyonların integrallerinin suprimumu ile tanımlanır $\phi\leq g$.

Ben ilk basit işlevleri için sonuç kanıtlamaya çalışıyordu Yani:
Böylece let$\phi(x)=\sum\limits_{k=1}^{k=n}a_k\chi_{E_k}(x)$ basit bir işlev olabilir.

Yani $\int\phi d\lambda=\sum a_k\lambda(E_k)=\sum a_k\mu(f^{-1}(E_k))$
Bundan sonra ilerlemek için uygun bir yol göremiyorum.

Yardımınıza minnettar olurum

Answer 1

Basit fonksiyonların eşitliği yorumlarda kanıtlanmıştır. Negatif olmayan genel bir fonksiyon için aşağıda gösterildiği gibi ilerleyebiliriz.

Herhangi $g \geq 0$ orada , azalan olmayan sekans$(\alpha_n)$basit fonksiyonlar noktasal yakınsak. Daha sonra elimizde:

$$(\alpha_n\circ f)(x) = \alpha_n(f (x)) \leq \alpha_{n+1}(f(x)) \rightarrow g(f(x)) $$

By monoton yakınsaklık teoremi elde ederiz:

$$ \int_{\mathbf{R}} \alpha_n d\lambda =\int_{X} \alpha_n\circ f d\mu \rightarrow \int_X g\circ f d\mu $$