Olumlu gerçekler tatmin eder $ \sum_{i=1}^{24} x_i = 1 $, maksimum aşağıdaki miktarı belirleyin

Question

Dolayısıyla, pozitif gerçekler aşağıdakileri sağlar:

$$ \sum_{i=1}^{24} x_i = 1 $$

Ve aşağıdaki miktarın maksimumunu bulmam gerekiyor.

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i}\right) \left(\sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i} } \right) $$

Şimdi, Cauchy Schwarz eşitsizliğini kullanarak,

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i}\right)^2 \leqslant \underbrace{(1+1+\cdots + 1)}_{\text{24 times}} \left( \sum_{i=1}^{24} x_i \right) $$

Bu yol açar

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i}\right) \leqslant \sqrt{24} $$

Ben diğer kısımda kaldım. Aşağıdakilerden en azını benzer tekniği kullanarak elde edebilirim.

$$ \left(\sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i} } \right) $$

Ama ikisini birleştirebilmem için bu miktardan maksimuma ihtiyacım var. Herhangi bir ipucu yardımcı olacaktır.

Answer 1

İkinci toplamı aşağıdaki gibi bağlayabiliriz. Cauchy-Schwarz eşitsizliğini kullanarak aşağıdakilere sahibiz.

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right)^2 \leqslant \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right)\underbrace{(1+1+\cdots +1)}_{\text{24 times}} $$

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right)^2 \leqslant 24 \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right) \, \cdots \cdots \cdots(1) $$

Şimdi Hölder eşitsizliğini kullanacağım.

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right)^{1/2} \left( \sum_{i=1}^{24} (1+x_i) \right)^{1/2} \leqslant \left[ \sum_{i=1}^{24} \left(\frac{1}{\sqrt{1+x_i}}\right) \left(\sqrt{1+x_i}\right) \right] $$

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right)^{1/2} \sqrt{25} \leqslant 24 $$

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right) \leqslant \frac{24^2}{25} $$

$$ 24 \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right) \leqslant \frac{24^3}{25} $$

Yani, denklemle birleştirmek $(1)$, Alırım,

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right)^2 \leqslant \frac{24^3}{25} $$

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right) \leqslant \frac{24^{3/2}}{5} $$

Son olarak, iki toplamı birleştirerek,

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i} \right) \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right) \leqslant \sqrt{24} \,\frac{24^{3/2}}{5} $$

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i} \right) \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right) \leqslant \frac{24^{2}}{5} $$

umarım yardımcı olur