Operatör normu ve Eylem

Question

Operatörün normunu şu şekilde tanımlıyoruz: $\left\lVert A \right\rVert = \sup \frac{\left\lVert A\psi \right\rVert}{ \left\lVert A \right\rVert} = \sup \left\lVert A\psi \right\rVert$ için $A ∈ L(H)$. Şöyle söylenir$||A||$ eyleminin büyüklüğünü ölçer $A$.

Eylemi ile kastedilen ne $A$ ve bu denklemde sup nedir?

Ayrıca, nasıl kontrol edebiliriz $A$ bu ifade ile sınırlı mı yoksa sınırsız mı?

Answer 1

Supremum normu sonsuz ise bir operatör sınırsızdır. Bu, bir preBanach uzayında sınırlı bir işleç tanımını olumsuzlayarak önemsiz bir şekilde izler.

"Doğrusal bir operatör $A :D(A) \rightarrow X$ sınırlı denir, ancak

$$\forall \psi\in D(A), \exists k\in \mathbb R, \text{so that} ||A\psi|| \leq k ||\psi||. $$

Maksimum değeri $k$ A alanı üzerinde, A'nın üstünlük normu olarak adlandırılır.

Answer 2

Denklemdeki sup, Hilbert uzayının tüm durumları üzerinde bir üstünlüktür $\mathcal{H}$. Başka bir deyişle, eyaleti seçersiniz$|\psi\rangle$ dışında $\mathcal{H}$ hangi numara için $\frac{\mid\mid A|\psi\rangle\mid\mid}{\mid\mid |\psi\rangle\mid\mid}$en büyüğü olur. Operatör normunun$A$ en büyük özdeğerine karşılık gelir $\sqrt{A^{\dagger}A}$. Hareket eden bir operatör olarak$\mathcal{H}$, $A$ bir durumu diğerine eşler; bu, garantiniz olmadığı için normalize edilmeyebilir. $A$üniter olmak. Böylece eylemini düşünebilirsiniz$A$ normalleştirilmemiş "ne kadar" için bir ölçü olarak $A|\psi\rangle$ buna göre $|\psi\rangle$ yani $\langle\psi | \psi \rangle=1$.